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时间:2018-12-22
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1、【师说系列】2014届高考数学一轮练之乐1.5.1数列的概念与简单表示文一、选择题1.已知数列{an}的通项an=(a,b,c都是正实数),则an与an+1的大小关系是( )A.an>an+1 B.an<an+1C.an=an+1D.不能确定解析:an==,∵y=是减函数,∴y=是增函数,∴an<an+1.答案:B2.已知数列{an}的通项公式是an=n2+kn+2,若对于n∈N*,都有an+1>an成立,则实数k的取值范围是( )A.k>0B.k>-1C.k>-2D.k>-3解析:依题意,(n+1)2+k(n+1)+2>n2+k
2、n+2对n∈N*恒成立,即k>-2n-1对n∈N*恒成立,因为-2n-1(n∈N*)的最大值为-3,所以k>-3,选择D.答案:D3.数列{-2n2+29n+3}中最大项是( )A.107 B.108 C.108 D.109解析:an=-2n2+29n+3=-2(n-)2+108,∵=7,且n∈N*,∴当n=7时,an最大,最大值为a7=108.答案:B4.已知数列{an}的前n项和Sn满足:Sn+Sm=Sn+m,且a1=1.那么a10=( )A.1B.9C.10D.55解析:由Sn+Sm=Sn+m,得S1+S9=S10⇒a
3、10=S10-S9=S1=a1=1.答案:A5.一函数y=f(x)的图象在给定的下列图象中,并且对任意an∈(0,1),由关系式an+1=f(an)得到的数列{an}满足an+1>an(n∈N*),则该函数的图象是( )解析:由an+1>an可知数列{an}为递增数列,又由an+1=f(an)>an可知,当x∈(0,1)时,y=f(x)的图象在直线y=x的上方,故选A.答案:A6.数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,an+1=3Sn(n≥1),则a6=( )A.3×44B.3×44+1C.43D.43+1解析:由an+1=3Sn⇒Sn+
4、1-Sn=3Sn,即Sn+1=4Sn,又S1=a1=1,可知Sn=4n-1.于是a6=S6-S5=45-44=3×44.答案:A二、填空题7.设数列{an}中,a1=2,an+1=an+n+1,则其通项公式an=__________.解析:由an+1-an=n+1,可得当n≥2时,a2-a1=2,a3-a2=3,…,an-an-1=n.以上n-1个式子左右两边分别相加,得an-a1=2+3+…+n=,∴an=+1.又n=1时,a1=2适合上式,∴an=+1.答案:+18.设数列{an}的前n项和为Sn,Sn=(对于所有n≥1),且a4=54,则a
5、1的值是__________.解析:∵Sn=,∴an=Sn-Sn-1=(3n-·3n)=a1·3n=a1·3n-1(n≥2).∵a4=54,∴54=a1·33.∴a1=2.答案:29.数列{an}中,a1=1,a2=5,an+2=an+1-an(n∈N*),则a2011=__________.解析:a3=a2-a1=4,a4=a3-a2=4-5=-1,a5=a4-a3=-1-4=-5,a6=a5-a4=-5-(-1)=-4,a7=a6-a5=-4-(-5)=1,a8=a7-a6=1-(-4)=5.∴数列{an}为周期数列,6为其一个周期.∴a20
6、11=a1=1.答案:1三、解答题10.已知数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln,求an.解析:由已知,an+1-an=ln,a1=2,∴an-an-1=ln,an-1-an-2=ln,…a2-a1=ln.将以上n-1个式子累加,得an-a1=ln+ln+…+ln=ln=lnn∴an=2+lnn.11.数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,an+1=Sn,n=1,2,3,….求:(1)a2,a3,a4的值;(2)数列{an}的通项公式.解析:(1)由a1=1,an+1=Sn,n=1,2,3,…,得a2=S1=a1=,a3=S2=(a
7、1+a2)=,a4=S3=(a1+a2+a3)=.(2)当n≥2时,an+1-an=(Sn-Sn-1)=an,∴an+1=an(n≥2).又a2=,∴an=×()n-2(n≥2).∴数列{an}的通项公式为an=12.已知函数f(x)=2x-2-x,数列{an}满足f(log2an)=-2n.(1)求数列{an}的通项公式;(2)求证:数列{an}是递减数列.解析:(1)∵f(x)=2x-2-x,∴f(log2an)=-=-2n,即an-=-2n.∴a+2n·an-1=0.∴an=,又∵an>0,∴an=-n.(2)证明:∵an>0,且an=-n
8、,∴==<1.∴an+1<an.即{an}为递减数列.
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