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时间:2018-12-22
《2012年高考数学最后冲刺 配方法突破》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、配方法突破配方法是对数学式子进行一种定向变形(配成“完全平方”)的技巧,通过配方找到已知和未知的联系,从而化繁为简。何时配方,需要我们适当预测,并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧,从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。最常见的配方是进行恒等变形,使数学式子出现完全平方。它主要适用于:已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解,或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a+b)=a+2ab+b,将这个公式灵活运用
2、,可得到各种基本配方形式,如:a+b=(a+b)-2ab=(a-b)+2ab;a+ab+b=(a+b)-ab=(a-b)+3ab=(a+)+(b);a+b+c+ab+bc+ca=[(a+b)+(b+c)+(c+a)]a+b+c=(a+b+c)-2(ab+bc+ca)=(a+b-c)-2(ab-bc-ca)=…结合其它数学知识和性质,相应有另外的一些配方形式,如:1+sin2α=1+2sinαcosα=(sinα+cosα);x+=(x+)-2=(x-)+2;……等等。例1.已知长方体的全面积为11,其12
3、条棱的长度之和为24,则这个长方体的一条对角线长为_____。A.2B.C.5D.6【分析】先转换为数学表达式:设长方体长宽高分别为x,y,z,则,而欲求对角线长,将其配凑成两已知式的组合形式可得。【解】设长方体长宽高分别为x,y,z,由已知“长方体的全面积为11,其12条棱的长度之和为24”而得:。长方体所求对角线长为:===5所以选B。【注】本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式,观察和分析三个数学式,容易发现使用配方法将三个数学式进行联系,即联系了已知和未知,从而求解。这也是我们
4、使用配方法的一种解题模式。例2.设方程x+kx+2=0的两实根为p、q,若()+()≤7成立,求实数k的取值范围。又∵p、q为方程x+kx+2=0的两实根,∴△=k-8≥0即k≥2或k≤-2综合起来,k的取值范围是:-≤k≤-或者≤k≤。【注】关于实系数一元二次方程问题,总是先考虑根的判别式“Δ”;已知方程有两根时,可以恰当运用韦达定理。本题由韦达定理得到p+q、pq后,观察已知不等式,从其结构特征联想到先通分后配方,表示成p+q与pq的组合式。假如本题不对“△”讨论,结果将出错,即使有些题目可能结果相同
5、,去掉对“△”的讨论,但解答是不严密、不完整的,这一点我们要尤为注意和重视。例3.设非零复数a、b满足a+ab+b=0,求()+()。【分析】对已知式可以联想:变形为()+()+1=0,则=ω(ω为1的立方虚根);或配方为(a+b)=ab。则代入所求式即得。【注】本题通过配方,简化了所求的表达式;巧用1的立方虚根,活用ω的性质,计算表达式中的高次幂。一系列的变换过程,有较大的灵活性,要求我们善于联想和展开。【另解】由a+ab+b=0变形得:()+()+1=0,解出=后,化成三角形式,代入所求表达式的变形式
6、()+()后,完成后面的运算。此方法用于只是未联想到ω时进行解题。假如本题没有想到以上一系列变换过程时,还可由a+ab+b=0解出:a=b,直接代入所求表达式,进行分式化简后,化成复数的三角形式,利用棣莫佛定理完成最后的计算。【专题训练】1.在正项等比数列{a}中,asa+2asa+aa=25,则a+a=_______。2.方程x+y-4kx-2y+5k=0表示圆的充要条件是_____。A.1C.k∈RD.k=或k=13.已知sinα+cosα=1,则sinα+cosα的值为____
7、__。A.1B.-1C.1或-1D.04.函数y=log(-2x+5x+3)的单调递增区间是_____。A.(-∞,]B.[,+∞)C.(-,]D.[,3)5.已知方程x+(a-2)x+a-1=0的两根x、x,则点P(x,x)在圆x+y=4上,则实数a=_____。【简解】1小题:利用等比数列性质aa=a,将已知等式左边后配方(a+
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