高中数学 第三章 直线与方程 3.2.1 直线的点斜式方程学案（含解析）新人教a版必修2

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1、3．2.1　直线的点斜式方程学习目标　1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程；2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程；3.会利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关的实际问题．知识点一　直线的点斜式方程思考1　如图，直线l经过点P0(x0，y0)，且斜率为k，设点P(x，y)是直线l上不同于点P0的任意一点，那么x，y应满足什么关系？答案　由斜率公式得k＝，则x，y应满足y－y0＝k(x－x0)．思考2　经过点P0(x0，y0)的所有直线是否都能用点斜式方程来表示？答案　斜率不存在的直线不能用点斜式表示，过点P0斜率不存在的直线为x＝x0.点斜式已知条件点P(x0，y0)和斜率k图示方程形式

2、y－y0＝k(x－x0)适用条件斜率存在知识点二　直线的斜截式方程思考1　已知直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，得到的直线l的方程是什么？答案　将k及点(0，b)代入直线方程的点斜式得：y＝kx＋b.思考2　方程y＝kx＋b，表示的直线在y轴上的截距b是距离吗？b可不可以为负数和零？答案　y轴上的截距b不是距离，可以是负数和零．思考3　对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2.①l1∥l2⇔________________，②l1⊥l2⇔________________.答案　①k1＝k2且b1≠b2　②k1k2＝－1斜截式已知条件斜率k和直线y轴上的截距b图示方程

3、式y＝kx＋b适用条件斜率存在类型一　直线的点斜式方程例1　(1)经过点(－3,1)且平行于y轴的直线方程是________．(2)直线y＝2x＋1绕着其上一点P(1,3)逆时针旋转90°后得直线l，则直线l的点斜式方程是________．(3)一直线l1过点A(－1，－2)，其倾斜角等于直线l2：y＝x的倾斜角的2倍，则l1的点斜式方程为________．答案　(1)x＝－3(2)y－3＝－(x－1)(3)y＋2＝(x＋1)解析　(1)∵直线与y轴平行，∴该直线斜率不存在，∴直线方程为x＝－3.(2)由题意知，直线l与直线y＝2x＋1垂直，则直线l的斜率为－.由点斜式方程可得l的方程为y－

4、3＝－(x－1)．(3)∵直线l2的方程为y＝x，设其倾斜角为α，则tanα＝得α＝30°，那么直线l1的倾斜角为2×30°＝60°，则l1的点斜式方程为y＋2＝tan60°(x＋1)，即y＋2＝(x＋1)．跟踪训练1　写出下列直线的点斜式方程：(1)经过点A(2,5)，斜率是4；(2)经过点B(2,3)，倾斜角是45°；(3)经过点C(－1，－1)，与x轴平行．解　(1)y－5＝4(x－2)；(2)∵直线的斜率k＝tan45°＝1，∴直线方程为y－3＝x－2；(3)y＝－1.类型二　直线的斜截式方程例2　(1)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3的直线的斜截式方程是______

5、___________．答案　y＝x＋3或y＝x－3解析　∵直线的倾斜角是60°，∴其斜率k＝tan60°＝，∵直线与y轴的交点到原点的距离是3，∴直线在y轴上的截距是3或－3，∴所求直线方程是y＝x＋3或y＝x－3.(2)已知直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程．解　由斜截式方程知直线l1的斜率k1＝－2，又因为l∥l1.由题意知l2在y轴上的截距为－2，所以l在y轴上的截距b＝－2，由斜截式可得直线l的方程为y＝－2x－2.反思与感悟　(1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．当b＝0时，y＝kx表示过原点

6、的直线；当k＝0时，y＝b表示与x轴平行(或重合)的直线．(2)截距不同于日常生活中的距离，截距是一个点的横(纵)坐标，是一个实数，可以是正数，也可以是负数和零，而距离是一个非负数．跟踪训练2　(1)已知直线l的斜率为，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l的斜截式方程；(2)已知直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，直线l与l1垂直且与l2在y轴上的截距互为相反数，求直线l的方程．解　(1)设直线方程为y＝x＋b，则x＝0时，y＝b；y＝0时，x＝－6b.由已知可得·

7、b

8、·

9、－6b

10、＝3，即6

11、b

12、2＝6，∴b＝±1.故所求直线方程为y＝x＋1或y＝x－1.(2)∵l

13、1⊥l，直线l1：y＝－2x＋3，∴l的斜率为，∵l与l2在y轴上的截距互为相反数，直线l2：y＝4x－2，∴l在y轴上的截距为2，∴直线l的方程为y＝x＋2.类型三　平行与垂直的应用例3　(1)当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行？(2)当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？解　(1)由题意可知，∵l1∥l2，∴解得a＝－1.故当