高中数学 第二章 变化率与导数及导数的应用 导数与函数的单调性教案1 北师大版选修1-1

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1、函数的单调性与极值一、教学目标：1．会从几何直观了解可微函数的单调性与其导数之间的关系，并会灵活应用；2．会用导数判断或证明函数的单调性；3．通过对可微函数单调性的研究，加深学生对函数导数的理解，提高学生用导数解决实际问题的能力，增强学生数形结合的思维意识．二、教学重点：正确理解“用导数法判别函数的单调性”的思想方法，并能灵活应用．教学难点：灵活应用导数法去解决函数单调性的有关问题的能力，以及解题善于运用数形结合的思想方法．三、教学用具：多媒体四、教学过程1．复习引入问题1对于函数，利用函数单调性的定义讨论它在R上的单调性．（此题是教科书

2、中引例的变式．多媒体展示）教师引导学生独立完成，并请学生上台板演，以帮助学生复习函数单调性的有关知识．点评学生的解答后，展示教师的推演过程与函数图象，理清学生的思路．略解：对任意，有．当时，有，知在其中是减函数；当时，有，知在其中是增函数．2．新授（多媒体画面中，问题1的解答消失，问题1与图形适当调整位置，并增加展示出图象上点处的切线随变化的动画．给出问题2）问题2对于函数，它的增减性与函数图象在相应区间上的切线的斜率有何联系？从动画中学生不难看出：在区间内，函数为增函数，切线的斜率为正；在区间内，函数为减函数，切线的斜率为负；在时，函数

3、的切线的斜率为0．（画面中问题1、2与图形适当调整位置，给出问题3）问题3对于函数，它的增减性与函数在相应区间上导数的正负符号有何联系？因函数在某点处的导数就是函数在该点的切线的斜率，或从动画中学生易知：函数在区间内导数为正；在区间内导数为负；在时，函数的切线的斜率为0．分段展示结论：一般地，设函数在某个区间可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数；如果在某区间内恒有，则为常数．特别说明第三点：在某区间内为常数，当且仅当在该区间内“恒有”之时．否则可能只是“驻点”（曲线在该点处的切线与x轴平行）．3．例题与练习例1题解可引导学生自己完成，

4、教师加以完善．然后向学生展示教师的书写格式与此函数的图象，使学生能清楚解题时应如何表达书写为好．最后可提示学生，在处改变了增减性，改变了正负符号，为下一节的学习作铺垫．学生独立完成并请上台板演．点评时注意学生的思路、符号、术语、书写格式是否合理．然后向学生展示教师的推演过程与函数的图象，以帮助学生理清思路．（解题过程略）例2师生共同完成，展示教师的解答与此函数的图象，加深学生的理解．说明在和处函数改变增减性，导数为0．一是使学生能更清楚在何种情况下为常数，而不是驻点；二是为下一节课学习函数的极值埋下伏笔．（解题过程略）特别说明：利用导数法

5、去探讨可微函数的单调性，一般要比定义法简捷，提醒学生在以后解题时可多尝试使用此法．补充练习1函数的单调递增区间是_____________．略解：由，得增区间为与．补充练习2已知函数，则函数在（－2，1）内是（）A．单调递减B．单调递增C．可能递增也可能递减D．以上都不成立略解：当时，有，递减．故选A．补充练习3已知函数，则（）A．在上递增B．在上递减C．在上递增D．在上递减略解：当时，，递减．故选D．补充练习4函数的递减区间是_______________．略解：要使，只需，故递减区间为．补充练习5证明函数在区间（0，1）上单调递减，而

6、在区间（1，2）上单调递增．略证：由，在（0，1）上，增；在（1，2）上，减．补充练习6讨论函数在内的单调性．略解：因，由，得，增．由，得，，减．4．归纳小结（1）函数导数与单调性的关系：时，增函数；时，减函数．用导数去研究函数的单调性比用定义法更为简便．（2）本节课中，用导数方法去研究函数单调性问题是中心，灵活应用导数法去解题是目的，适当的见识与练习是达到目的最佳手段，数形结合是应使学生养成的良好思维习惯．五、布置作业教科书习题第1、2题课外研究题1．设函数，其中，求的取值范围，使函数在上是单调函数．（2000年全国高考题）略解：，其中

7、且时，使函数在上是单调必然；，知．2．当时，证明不等式成立．解：作函数，当时，，知单调递减；当时，．知在时，．作，当时，，知单调递减；当时，．知在时，．综上获证．