八年级数学上册 专题突破讲练 平行线性质的综合应用 折叠问题试题 （新版）青岛版

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1、平行线性质的综合应用：折叠问题一、平行线的性质方法归纳：平行关系数量关系（由“线”推“角”）由“线”的位置关系（平行），定“角”的数量关系（相等或互补）如（1）如图两平行线a、b被直线l所截，且∠1＝60°，则∠2的度数为（　　）A.30°B.45°C.60°D.120°解：∵a∥b，∴∠3＝∠1＝60°（两直线平行，同位角相等），∴∠2＝∠3＝60°。故选C。（2）如图，直线c与a、b均相交，当a∥b时，则（　　）A.∠1＞∠2B.∠1＜∠2C.∠1＝∠2D.∠1＋∠2＝90°解：∵a∥b，∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等），故选：C。二、

2、折叠问题（翻折变换）1.折叠问题（翻折变换）实质上就是轴对称变换。2.折叠是一种对称变换，它属于轴对称。（1）对称轴是对应点的连线的垂直平分线；（2）折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化；（3）对应边和对应角相等。3.对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，在画图时，画出折叠前后的图形，这样便于找到图形之间的数量关系和位置关系。例题1如图所示。已知AB∥CD，∠B＝100°，EF平分∠BEC，EG⊥EF。求∠BEG和∠DEG。解析：根据平行线的性质及角平分线的性质可求出∠BEC、∠BED的度数，再根据EG⊥EF可得出要求的两角的度数。答案

3、：解：由题意得：∠BEC＝80°，∠BED＝100°，∠BEF＝∠BEC＝40°，∴∠BEG＝90°－∠BEF＝50°，∠DEG＝∠BED－50°＝50°。∴∠BEG和∠DEG都为50°。点拨：解答此类题目要熟悉平行线的性质，注意掌握两直线平行内错角相等，同旁内角互补。例题2如图所示，将宽为4厘米的纸条折叠，折痕为AB，如果∠ACB＝30°，折叠后重叠部分的面积为多少平方厘米？解析：根据翻折不变性，得到∠α＝∠CAB，从而求出∠ABC＝∠BAC，再得出△ACB为等腰三角形，求出AD和CB的长，进而求出△ABC的面积。答案：解：延长GA到F，根据翻

4、折不变性，∠α＝∠CAB，∵AG∥BC，∴∠GAC＝∠ACB＝30°，∴∠α＝∠CAB＝（180°－30°）÷2＝75°，∴∠ABC＝180°－30°－75°＝75°，∴AC＝BC。作AD⊥BC，垂足为D，∵纸条的宽＝4cm，∴AD＝4cm，在Rt△ACD中，∠ACD＝30°，∴AC＝2AD＝2×4＝8cm，∴AC＝BC＝8cm，∴△ABC的面积为（4×8）÷2＝16cm2。故重叠部分的面积为16cm2。点拨：此题考查了翻折不变性和平行线的性质和等腰三角形的性质及含30°的角的性质，综合性较强。平行线的性质的熟练掌握和灵活运用至关重要，对于后继学

5、习尤其是四边形的学习有铺垫性作用。综合平行线性质和折叠不变性的题目灵活性较强，关键要找准平行线再确定角的关系。满分训练如图，直线AC∥BD，连接AB，直线AC，BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分。当动点P落在某个部分时，连接PA，PB，构成∠PAC、∠APB、∠PBD三个角。（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角）（1）当动点P落在第①部分时，求证：∠APB＝∠PAC＋∠PBD；（2）当动点P落在第②部分时，∠APB＝∠PAC＋∠PBD是否成立？（直接回答成立或不成立）（3）当动点P落在第③

6、部分时，全面探究∠PAC、∠APB、∠PBD之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论。选择其中一种结论加以证明。解析：（1）如图1，延长BP交直线AC于点E，由AC∥BD，可知∠PEA＝∠PBD。由∠APB＝∠PAE＋∠PEA，可知∠APB＝∠PAC＋∠PBD；（2）过点P作AC的平行线，根据平行线的性质解答；（3）根据P的不同位置，分三种情况讨论。答案：解：（1）解法一：如图1延长BP交直线AC于点E。∵AC∥BD，∴∠PEA＝∠PBD。∵∠APB＝∠PAE＋∠PEA，∴∠APB＝∠PAC＋∠PBD；解法二：如图2过点P作FP∥AC，∴∠

7、PAC＝∠APF。∵AC∥BD，∴FP∥BD。∴∠FPB＝∠PBD。∴∠APB＝∠APF＋∠FPB＝∠PAC＋∠PBD；解法三：如图3，∵AC∥BD，∴∠CAB＋∠ABD＝180°，∠PAC＋∠PAB＋∠PBA＋∠PBD＝180°。又∠APB＋∠PBA＋∠PAB＝180°，∴∠APB＝∠PAC＋∠PBD。（2）不成立。（3）（a）当动点P在射线BA的右侧时，结论是∠PBD＝∠PAC＋∠APB。（b）当动点P在射线BA上，结论是∠PBD＝∠PAC＋∠APB。或∠PAC＝∠PBD＋∠APB或∠APB＝0°，∠PAC＝∠PBD（任写一个即可）。（c）当

8、动点P在射线BA的左侧时，结论是∠PAC＝∠APB＋∠PBD。选择（a）证明：如图4，连接PA，连接PB交AC于M。∵AC∥BD，∴∠P