高中数学 3.3 一元二次不等式及其解法学案 新人教b版必修5

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1、3.3　一元二次不等式及其解法1．一元一次不等式通过同解变形，一元一次不等式可化为：ax>b.若a>0，则其解集为.若a<0，则其解集为.若a＝0，b<0，解集为R；b≥0，解集为∅.2．三个“二次”的关系通过同解变形，一元二次不等式可化为：ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(a>0)．不妨设方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1、x2且x10(a>0)的解集，就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)在x轴上方部分的点的横坐标x的集合；ax2＋bx＋c<0(a>0)的

2、解集，就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)在x轴下方部分的点的横坐标x的集合．从方程观点来看，一元二次方程的根是对应的一元二次不等式解集的端点值．3．简单的高次不等式的解法——数轴穿根法数轴穿根法来源于实数积的符号法则，例如要解不等式(x－1)(x－2)(x－3)>0.我们可以列表如下：x的区间x<113x－1－＋＋＋x－2－－＋＋x－3－－－＋(x－3)(x－2)·(x－1)－＋－＋把表格的信息“浓缩”在数轴得：据此，可写出不等式(x－1)(x－2)(x－3)>0的解集是{x

3、13}．一

4、般地，利用数轴穿根法解一元高次不等式的步骤是：(1)化成形如p(x)＝(x－x1)(x－x2)…(x－xn)>0(或<0)的标准形式；(2)将每个因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每个点画曲线；(3)奇次根依次穿过，偶次根穿而不过(即不要改变符号)；(4)根据曲线显现出的p(x)的符号变化规律，标出p(x)的正值区间和负值区间；(5)写出不等式的解集，并检验零点是否在解集内．4．分式不等式的解法(1)>0⇔f(x)·g(x)>0.(2)<0⇔f(x)·g(x)<0.(3)≥0⇔.(4)≤0⇔.注意：解不等式时，一般情况下不要在两

5、边约去相同的因式．例如：解不等式：>.解　原不等式⇔－>0⇔>0⇔>0⇔x<－或－3.∴原不等式的解集为∪∪(3，＋∞)．5．恒成立问题(1)f(x)≥a，x∈D恒成立⇔f(x)min≥a，x∈D恒成立；f(x)≤a，x∈D恒成立⇔f(x)max≤a，x∈D恒成立；(2)ax2＋bx＋c>0恒成立⇔或ax2＋bx＋c<0恒成立⇔或.6．一元二次方程根的分布我们以ax2＋bx＋c＝0(a>0)为例，借助开口方向向上的二次函数的图象给出根的分布的充要条件.根的分布二次函数的图象充要条件x1

6、kk

7、x<－1或2≤x<3}．二、含参数不等式的解法方法链接：对于含有参数的不等式，由于参数的取值范围不同，其结果就不同，因此必须对参数进行分类讨论，即要产生一个划分参数的标准．例2　解不等式：0⇔(x＋2)(kx＋3k

8、＋2)>0当k＝0时，原不等式解集为{x

9、x>－2}；当k>0时，(kx＋3k＋2)(x＋2)>0，变形为(x＋2)>0∵＝3＋>3>2，∴－<－2.∴x<－或x>－2.故解集为.当k<0时，原不等式⇔(x＋2)<0由(－2)－＝.∴当－20，－2>－.不等式的解集为.综上所述，当k＝0时，不等式的解集为{x

10、x>－2}；当k>0时，不等式的解集为；当－2

11、解集为∅；当k<－2时，不等式的解集为.三、恒成立问题的解法方法链接：在含参数的恒成立不等式问题中，参数(“客”)和未知数(“主”)是相互牵制、相互依赖的关系，在这里是已知参数a(“客”)的取值范围，反过来求x(“主”)的取值范围，若能转换“主”与“客”两者在问题中的地位：视参数a为“主”，未知数x为“客”，则关于x的一元二次不等式就立即转化为关于a的一元一次不等式，运用反“客”为“主”的方法，使问题迎刃而解．例3　已知不等式x2＋px＋1>2x＋p.(1)如果不等式当

12、p

13、≤2时恒成立，求x的取值范围；(2)如果不等式当2≤x≤

14、4时恒成立，求p的取值范围．分析　题中不等式含有两个字母x，p，由(1)的条件可知，应视p为变量，x为常量，再求x的范围；由(2)的条件可知，应视x为变量，p为常量，再求p的范围．解　(1)不等式化为：(x－1)p＋x2－2x＋1>0，令f(p)＝