高中数学 3.3 一元二次不等式及其解法（二）学案 新人教b版必修5

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1、§3.3　一元二次不等式及其解法(二)自主学习知识梳理1．解分式不等式的同解变形法则(1)>0⇔________________；(2)≤0⇔________________；(3)≥a⇔≥0.2．处理不等式恒成立问题的常用方法(1)一元二次不等式恒成立的情况：ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔____________；ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立⇔____________.(2)一般地，若函数y＝f(x)，x∈D既存在最大值，也存在最小值，则：a>f(x)，x∈D恒成立⇔________________；a

2、一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，你能借助二次函数的图象，探求两根满足下列特征的等价条件吗？(1)两个正根⇔________________；(2)两个负根⇔________________；(3)一正一负根⇔________________；(4)两根都小于k⇔________________；(5)一根大于k，一根小于k⇔________________.(注：答案不唯一)．对点讲练知识点一　分式不等式的解法例1　解下列不等式：(1)≥－2；(2)<0.变式训练1　解不等式：>1.知识点二　恒成立问题例2　设函数f(x)＝mx2－mx－1.(1)若对于一切实数x，f(x)<0恒

3、成立，求m的取值范围；(2)对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围．总结　含参数的二次不等式在某区间内恒成立，常有两种处理方法：方法一是利用二次函数在区间上的最值来处理；方法二是分离出参数再去求函数的最值．变式训练2　若不等式2x－1>m(x2－1)对满足

4、m

5、≤2的所有实数都成立，求x的取值范围．知识点三　一元二次方程根的分布例3　设a∈R，关于x的一元二次方程7x2－(a＋13)x＋a2－a－2＝0有两实根x1，x2，且0

6、式组，进而求解．变式训练3　若方程4x＋(m－3)·2x＋m＝0有两个不相同的实根，求m的取值范围．1．解分式不等式时一定要等价变形为一边为零的形式，再化归成整式不等式(组)或高次不等式．若不等式含有等号时，分母不为零．2．用数轴穿根法解高次不等式的过程可简记为“化正、化积、穿根、写出”四个步骤，某些点是保留还是去掉，要认真检查．3．对于有的恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法．这是因为将参数予以分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决．当然这必须以参数容易分离作为前提．分离参数时，经常要用到下述简单结论：(1)a>f(x)恒成立⇔a>f(x)max；(2)a

7、a

8、x>1}B．{x

9、x≥1}C．{x

10、x≥1或x＝－2}D．{x

11、x≥－2或x＝1}2．不等式<2的解集为(　　)A．{x

12、x≠－2}B．RC．∅D．{x

13、x<－2或x>2}3．若a>0，b>0，则不等式－b<D．x<－或x>4．设函数f(x)＝则不等式f(x)>f(1)的解集是(　　)A．(－3,1)∪(3，＋∞)B．(－3,1)∪(2，

14、＋∞)C．(－1,1)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(1,3)5．对任意a∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，则x的取值范围是(　　)A．13C．12二、填空题6．如果A＝{x

15、ax2－ax＋1<0}＝∅，则实数a的取值范围为________．7．已知x＝1是不等式k2x2－6kx＋8≥0的解，则k的取值范围是________．8．已知关于x的不等式<1的解集为{x

16、x<1或x>3}，则a的值是________．三、解答题9．已知函数f(x)＝(a，b为常数)，且方程f(x)－x＋12＝0有两个实根为x1

17、＝3，x2＝4.(1)求函数f(x)的解析式；(2)设k>1，解关于x的不等式：f(x)<.10．已知函数f(x)＝lg[(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1]．(1)若f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，求实数a的取值范围；(2)若f(x)的值域为(－∞，＋∞)，求实数a的取值范围．§3.3　一元二次不等式及其解法(二)知识梳理1．(1)f(x)·g(x)>0　(2)2．(1)　　(2)a>f(x)max　a<