高中数学 3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域教案（一）新人教a版必修5

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1、3.3　二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.3.1　二元一次不等式(组)与平面区域第1课时教学过程推进新课［合作探究］师二元一次方程x＋y－1＝0有无数组解，每一组解是一对实数，它们在坐标平面上表示一个点，这些点的集合组成点集{(x，y)

2、x＋y－1＝0}，它在坐标平面上表示一条直线.以二元一次不等式x＋y－1＞0的解为坐标的点，也拼成一个点集.如x＝3，y＝2时，x＋y－1＞0，点(3，2)的坐标满足不等式x＋y－1＞0.(3，2)是二元一次不等式x＋y－1＞0的解集中的一个元素.我们把二元一次不等

3、式x＋y－1＞0的解为坐标的点拼成的点集记为{(x，y)

4、x＋y－1＞0}.请同学们猜想一下，这个点集在坐标平面上表示什么呢？生x＋y－1＞0表示直线l：x＋y－1＝0右上方的所有点拼成的平面区域.师事实上，在平面直角坐标系中，所有的点被直线x＋y－1＝0分为三类：在直线x＋y－1＝0上；在直线x＋y－1＝0右上方的平面区域内；在直线x＋y－1＝0左下方的平面区域内.如(2，2)点的坐标代入x＋y－1中，x＋y－1＞0，(2，2)点在直线x＋y－1＝0的右上方.(－1，2)点的坐标代入x＋y－1中，x＋y－1＝0，(－

5、1，2)点在直线x＋y－1＝0上.(1，－1)点的坐标代入x＋y－1中，x＋y－1＜0，(1，-1)点在直线x＋y－1＝0的左下方.因此，我们猜想，对直线x＋y－1＝0右上方的点(x，y)，x＋y－1＞0成立；对直线x＋y－1＝0左下方的点(x，y)，x＋y－1＜0成立.师下面对这一猜想进行一下推证.在直线l：x＋y－1＝0上任取一点P(x0，y0)，过点P作平行于x轴的直线y＝y0，这时这条平行线上在P点右侧的任意一点都有x＞x0，y＝y0两式相加.x＋y＞x0＋y0，则x＋y－1＞x0＋y0－1,P点在直线x＋

6、y－1＝0上，x0＋y0－1＝0.所以x＋y－1＞0.因为点P(x0，y0)是直线x＋y－1＝0上的任意一点，所以对于直线x＋y－1＝0的右上方的任意点(x，y),x＋y－1＞0都成立.同理，对于直线x＋y－1＝0左下方的任意点(x，y)，x＋y－1＜0都成立.所以点集{(x，y)

7、x＋y－1＞0}是直线x＋y－1＝0右上方的平面区域，点集{(x，y)

8、x＋y－1＜0}是直线x＋y－1＝0左下方的平面区域.师一般来讲，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0的某一侧所有点组

9、成的平面区域.由于对在直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，实数Ax＋By＋C的符号相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，由Ax0＋By0＋C的正、负就可判断Ax＋By＋C＞0表示直线哪一侧的平面区域.当C≠0时，我们常把原点作为这个特殊点去进行判断.如把(0，0)代入x＋y－1中，x＋y－1＜0.说明：x＋y－1＜0表示直线x＋y－1＝0左下方原点所在的区域，就是说不等式所表示的区域与原点在直线x＋y－1＝0的同一侧.如果C＝0，直线过原点，原点坐标代入无法进行判断，则可另选一个易计算

10、的点去进行判断.师提醒同学们注意，不等式Ax＋By＋C≥0所表示的区域，应当理解为{(x，y)

11、Ax＋By＋C＞0}∪{(x，y)

12、Ax＋By＋C＝0}.这个区域包括边界直线，应把边界直线画为实线.师另外同学们还应当明确有关区域的一些称呼.（1）A为直线l右上方的平面区域　　　(2)B为直线l左下方的平面区域(3)C为直线l左上方的平面区域　　　(4)D为直线l右下方的平面区域［教师精讲］师二元一次不等式ax+by+c＞0和ax+by+c＜0表示的平面区域.（1）结论：二元一次不等式ax+by+c＞0在平面直

13、角坐标系中表示直线ax+by+c=0某一侧所有点组成的平面区域.把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线，若画不等式ax+by+c≥0表示的平面区域时，此区域包括边界直线，则把边界直线画成实线.（2）判断方法：由于对在直线ax+by+c=0同一侧的所有点(x,y)，把它的坐标(x,y)代入ax+by+c，所得的实数的符号都相同，故只需在这条直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0)，以ax0+by0+c的正负情况便可判断ax+by+c＞0表示这一直线哪一侧的平面区域，特殊地，当c≠0时，常把原点作为此特殊点.［知识拓展］【

14、例1】画出不等式2x＋y－6＞0表示的平面区域.解:先画直线2x＋y－6＝0(虚线)，把原点(0，0)代入2x＋y－6，得0－6＜0.因2x＋y－6＜0，说明原点不在要求的区域内，不等式2x＋y－6＞0表示的平面区域与原点在直线2x＋y－6＝0的异侧，即直线2x＋y－6＝0的右上部分的平