高中数学 2.4 线性回归方程(1)教案 苏教版必修3

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1、江苏省常州市西夏墅中学高中数学2.4线性回归方程(1)教案苏教版必修3教学目标:1.通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图,并利用散点图直观认识变量间的相关关系;2.在两个变量具有线性相关关系时,会在散点图中作出线性直线,会用线性回归方程进行预测;3.知道最小二乘法的含义,知道最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程,了解(线性)相关系数的定义.教学重点:散点图的画法,回归直线方程的求解方法.教学难点:回归直线方程的求解方法.教学方法:引导发现、合作探究.教学过程:一、创设情景,揭示课题客观事物是相互联系的.过去研究的大

2、多数是因果关系,但实际上更多存在的是一种非因果关系.比如说:某某同学的数学成绩与物理成绩,彼此是互相联系的,但不能认为数学是“因”,物理是“果”,或者反过来说事实上数学和物理成绩都是“果”,而真正的“因”是学生的理科学习能力和努力程度.所以说,函数关系存在着一种确定性关系,但还存在着另一种非确定性关系——相关关系.二、学生活动提出问题:两个变量之间的常见关系有几种?(1)确定性的函数关系,变量之间的关系可以用函数表示;(2)相关关系,变量之间有一定的联系,但不能完全用函数来表示.说明:不要认为两个变量间除了函数关系,就是相关关系,事实是,两个变量间可能毫无

3、关系.比如地球运行的速度与某个人的行走速度就可认为没有关系.某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系,随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对照表:气温/C261813104杯数202434385064如果某天的气温是,你能根据这些数据预测这天小卖部卖出热茶的杯数吗?从下图可以看出,这些点散布在一条直线的附近,故可用一个线性函数近似地表示热茶销量与气温之间的关系.选择怎样的直线近似地表示热茶销量与气温之间的关系?我们有多种思考方案:(1)选择能反映直线变化的两个点,例如取这两点的直线;(2)取一条直线,使得位于该直线一侧和另一侧的点的个数基本相

4、同;(3)多取几组点,确定几条直线方程,再分别算出各条直线斜率、截距的平均值,作为所求直线的斜率、截距;……怎样的直线最好呢?三、建构数学1.最小平方法:用方程为的直线拟合散点图中的点,应使得该直线与散点图中的点最接近.那么,怎样衡量直线与图中六个点的接近程度呢?我们将表中给出的自变量的六个值带入直线方程,得到相应的六个的值:.这六个值与表中相应的实际值应该越接近越好.所以,我们用类似于估计平均数时的思想,考虑离差的平方和说明:是直线与各散点在垂直方向(纵轴方向)上的距离的平方和,可以用来衡量直线与图中六个点的接近程度,所以,设法取的值,使达到最小值.这种

5、方法叫做最小平方法(又称最小二乘法)(methodofleastsquare).先把看作常数,那么是关于的二次函数.易知,当时,取得最小值.同理,把看作常数,那么是关于的二次函数.当时,取得最小值.因此,当时,取的最小值,由此解得.所求直线方程为.当时,,故当气温为时,热茶销量约为杯.2.线性相关关系:像这样能用直线方程近似表示的相关关系叫做线性相关关系(linercorrelation).3.线性回归方程:一般地,设有个观察数据如下:……当使取得最小值时,就称为拟合这对数据的线性回归方程(linearregressionequation),该方程所表示的

6、直线称为回归直线.上述式子展开后,是一个关于的二次多项式,应用配方法,可求出使为最小值时的的值.即结论:,(*),说明:公式(*)的推导比较复杂,这里不作要求.四、数学运用例题 下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料,请判断机动车辆数与交通事故数之间是否有线性相关关系,如果具有线性相关关系,求出线性回归方程;如果不具有线性相关关系,说明理由.机动车辆数/千台95110112120129135150180交通事故数/千件6.27.57.78.58.79.810.2131.下面是我国居民生活污水排放量的一组数据(单位:10t)试分别估计1996年和2

7、004年我国居民生活污水排放量.年份19951996199719981999200020012002排放量151189.1194.8203.8220.9227.7232.32.一个工厂在某年里每月产品的总成本y(单位:万元)与月产量(单位:万件)之间有如下一组数据:x1.081.121.191.281.361.481.591.681.801.871.982.07y2.252.372.402.552.642.752.923.033.143.263.363.50(1)画出散点图;(2)求线性回归方程.五、归纳整理,整体认识1.对一组数据进行线性回归分析时,应先

8、画出其散点图,看其是否呈直线形,再依系数的计算公式,算出.由于计算

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