高中数学 2.5.1平面几何中的向量方法教案 新人教a版必修4(6)

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1、课题2．5.1　平面几何中的向量方法教学目标知识与技能通过平行四边形这个几何模型,归纳总结出用向量方法解决平面几何的问题的‖三步曲‖过程与方法明确平面几何图形中的有关性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示情感态度价值观让学生深刻理解向量在处理平面几何问题中的优越性重点用向量方法解决实际问题的基本方法：向量法解决几何问题的“三步曲”难点如何将几何等实际问题化归为向量问题教学设计教学内容教学环节与活动设计探究点一　直线的方向向量与两直线的夹角(1)直线y＝kx＋b的方向向量：如果向量v与直线l共线，则称向量v为直线l的

2、方向向量．对于任意一条直线l：y＝kx＋b，在它上面任取两点A(x0，y0)，B(x，y)，则向量＝(x－x0，y－y0)与直线l共线，即为直线l的方向向量．由于(x－x0，y－y0)＝(1，)＝(1，k)，所以向量(x－x0，y－y0)与向量(1，k)共线，从而向量(1，k)是直线y＝kx＋b的一个方向向量．(2)直线Ax＋By＋C＝0的方向向量当B≠0时，k＝－，所以向量(B，－A)与(1，k)共线，所以向量(B，－A)是直线Ax＋By＋C＝0的一个方向向量；当B＝0时，A≠0，直线x＝－的一个方向向量为(0，－A)，即(B，－A)．综上所述

3、，直线Ax＋By＋C＝0的一个方向向量为v＝(B，－A)．例如：已知直线l：2x－y＋1＝0，下列向量：①v1＝(1,2)；②v2＝(2,1)；③v3＝；④v4＝(－2，－4)．其中能作为直线l方向向量的有：________.教学内容教学环节与活动设计(3)应用直线的方向向量求两直线的夹角已知直线l1：y＝k1x＋b1与直线l2：y＝k2x＋b2，它们的方向向量依次为v1＝(1，k1)，v2＝(1，k2)．当v1⊥v2，即v1·v2＝1＋k1k2＝0时，l1⊥l2，夹角为直角；当k1k2≠－1时，v1·v2≠0，直线l1与l2的夹角为θ(0°<θ

4、<90°)．不难推导利用k1、k2表示cosθ的夹角公式：cosθ＝＝.例如：直线x－2y＋1＝0与直线2x＋y－3＝0的夹角为______；直线2x－y－1＝0与直线3x＋y＋1＝0的夹角为______．探究点二　直线的法向量与两直线的位置关系(1)直线Ax＋By＋C＝0的法向量：如果向量n与直线l垂直，则称向量n为直线l的法向量．因此若直线的方向向量为v，则n·v＝0.从而对于直线Ax＋By＋C＝0而言，其方向向量为v＝(B，－A)，则由于n·v＝0，于是可取n＝(A，B)，这时因为(B，－A)·(A，B)＝AB－AB＝0.直线的法向量也有无

5、数个．(2)直线法向量的简单应用：利用直线的法向量判断两直线的位置关系：对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，它们的法向量分别为n1＝(A1，B1)，n2＝(A2，B2)．当n1∥n2时，l1∥l2或l1与l2重合．即A1B2－A2B1＝0⇔l1∥l2或l1与l2重合；当n1⊥n2时，l1⊥l2.即A1A2＋B1B2＝0⇔l1⊥l2.例如：直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0垂直，则a的值为________．探究点三　平面向量在几何中的应用用向量法处理有关直

6、线平行、垂直、线段相等、点共线、线共点以及角度等问题时有独到之处，且解法思路清晰、简洁直观．其基本方法是：(1)要证明线段AB＝CD，可转化为证明

7、

8、＝

9、

10、.(2)要证明AB∥CD，只需证明存在一个不为零实数λ，使得＝λ，且A、B、C、D不共线即可．(3)要证明A、B、C三点共线，只需证明∥或∥.教学设计教学内容教学环节与活动设计(4)要证明AB⊥CD，只需证明·＝0，或若＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，则用坐标证明x1x2＋y1y2＝0即可．(5)常用

11、a

12、＝和cosθ＝处理有关长度与角度的问题．例如，在平行四边形中有下列的结论：平行四边形

13、两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的2倍．请用向量法给出证明．【典型例题】例1　已知△ABC的三个顶点A(0，－4)，B(4,0)，C(－6,2)，点D、E、F分别为边BC、CA、AB的中点．(1)求直线DE、EF、FD的方程；(2)求AB边上的高线CH所在直线方程．跟踪训练1　在△ABC中，A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，求∠A的平分线的方程．例2　如图，▱ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，求证：AR＝RT＝TC.跟踪训练2　如图,已知PQ过△OAB的重心G，设＝a，＝b.若＝ma，

14、＝nb,求证：＋＝3.例3　如图所示，在平行四边形ABCD中，BC＝2BA，∠ABC＝60°，作AE⊥BD交BC于E，求的值．跟踪训练3