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《高中数学 第六章 推理与证明 6.1 合情推理和演绎推理 6.1.1 归纳基础达标 湘教版选修2-2》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、6．1.1 归 纳1．某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示，○○○●●○○○●●○○○…，按这种规律往下排，那么第36个圆的颜色应是( )A．白色B．黑色C．白色可能性大D．黑色可能性大答案 A2．由集合{a1}，{a1，a2}，{a1，a2，a3}，…的子集个数归纳出集合{a1，a2，a3，…，an}的子集个数为( )A．nB．n＋1C．2nD．2n－1解析 集合{a1}的子集有∅，{a1}共2个；{a1，a2}的子集有∅，{a1}，{a2}，{a1，a2}共4个；集合{a1，a2，a3}的子集共8个，猜测n个元素的集合的子集有2n个，故选C.答案 C3．根据给出的数塔猜测1
2、23456×9＋7等于( )1×9＋2＝1112×9＋3＝111123×9＋4＝11111234×9＋5＝1111112345×9＋6＝111111A．1111110B．1111111C．1111112D．1111113解析 由数塔运算积的知识易得B为真．答案 B4．n个连续自然数按规律排列下表：0 3→4 7→8 11…↓ ↑ ↓ ↑ ↓ ↑1→2 5→6 9→10根据规律，从2010到2012箭头方向依次为________．解析 观察特例规律知：位置相同的数字都是以4为公差的等差数例，由2,3,4知2010到2012为↑→，故答案为↑→.答案 ↑→5．已知＝2，＝3，＝
3、4，…，若＝6(a，b均为实数)，推测a＝________，b＝________.答案 6 356．设Sn＝＋＋＋…＋，写出S1，S2，S3，S4的值，归纳并猜想出结果，并给出证明．解 n＝1,2,3,4时，S1＝，S2＝，S3＝，S4＝.猜想：Sn＝.证明如下：＝－，∴Sn＝＋＋＋…＋＝1－＝.7．设n是自然数，则(n2－1)[1－(－1)n]的值( )A．一定是零B．不一定是整数C．一定是偶数D．是整数但不一定是偶数解析 当n＝1时，值为0，当n＝2时，值为0，当n＝3时，值为2，当n＝4时，值为0，当n＝5时，值为6.答案 C8．(2011·江西)观察下列各式：55＝3125,
4、56＝15625,57＝78125，…，则52011的末四位数字为( )．A．3125B．5625C．0625D．8125解析 55＝3125,56＝15625,57＝78125,58的末四位数字为0625,59的末四位数字为3125,510的末四位数字为5625，511的末四位数字为8125,512的末四位数字为0625，…，由上可得末四位数字周期为4，呈现规律性交替出现，∴52011＝54×501＋7末四位数字为8125.答案 D9．(2011·山东)设函数f(x)＝(x>0)，观察f1(x)＝f(x)＝，f2(x)＝f[f1(x)]＝，f3(x)＝f[f2(x)]＝，f4(x)
5、＝f[f3(x)]＝，…根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N＋且n≥2时，fn(x)＝f[fn－1(x)]＝________.解析 先求分母中x项系数组成数列的通项公式，由1,3,7,15…，可推知该数列的通项公式为an＝2n－1，又函数结果分母中常数项依次为2,4,8,16，…，故其通项公式为bn＝2n.∴fn(x)＝.答案 10．(2011·陕西)观察下列等式1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49…照此规律，第n个等式为________．解析 ∵1＝12,2＋3＋4＝9＝32，3＋4＋5＋6＋7＝25＝52，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝4
6、9＝72，所以第n个等式为n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.答案 n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)211．观察以下等式：sin230°＋cos260°＋sin30°·cos60°＝，sin240°＋cos270°＋sin40°·cos70°＝，sin215°＋cos245°＋sin15°·cos45°＝.…写出反映一般规律的等式，并给予证明．解 反映一般规律的等式是(表述形式不唯一)：sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinα·cos(α＋30°)＝.证明如下：sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinα·cos(α＋30°)＝s
7、in2α＋(cosα·cos30°－sinα·sin30°)2＋sinα·(cosαcos30°－sinα·sin30°)＝sin2α＋2＋sinα·cosα－sin2α＝sin2α＋cos2α＋sin2α－sinα·cosα＋sinα·cosα－sin2α＝(sin2α＋cos2α)＝.12．(创新拓展)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，n∈N＋，求a2，a3，a4并猜想数列的通项公式，并给出证明．解 {an}中a1＝1，a2＝＝，a3
