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《高中数学 第2章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.2 间接证明课后导练 苏教版选修1-2》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2.2.2间接证明课后导练基础达标1．反证法是（ ）A.从结论的反面出发,推出矛盾的证法B.对其否命题的证明C.对其逆命题的证明D.分析法的证明方法答案：A2．命题“△ABC中,若∠A＞∠B,则a＞b”的结论的否定应该是（ ）A.a＜bB.a≤bC.a=bD.a≥b解析：“大于”的否定是“不大于”即“小于”或“等于”.答案：B3．命题“关于x的方程ax=b(a≠0)的解是唯一的”的结论的否定是（ ）A.无解B.两解C.至少两解D.无解或至少两解解析：“唯一”的意思是“有且只有一个”，其反面应该为D.答案：D4．如果两个实数之和为正数,则这两个数（ ）A.一个是正数,一个是负数B.两
2、个都是正数C.至少有一个是正数D.两个都是负数解析：由反证法的意义知C真.答案：C5．在数列:11,111,1111,…中（ ）A.有完全平方数B.没有完全平方数C.有偶数D.没有3的倍数解析：易见没偶数，且有3的倍数，如111.知C、D假.假设有完全平方数，它必为奇数的平方.设为=(2K+1)2(K为正整数)，则0=4K（K+1），两边除以2得=2K（K+1），此式左边为奇数，而右边为偶数，自相矛盾.答案：B6．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中只有一位获奖,有人走访了四位歌手,甲说：“是乙或丙获奖.”乙说:“甲、丙都未获奖.”丙说：“我获奖了.”丁说：“是乙获奖.”四位歌手的话
3、只有两句是对的,则获奖的歌手是（ ）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁解析：若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的话都是错的，同理，可推知乙、丙、丁获奖的情况，最后可知获奖的歌手是丙.答案：C7．反证法的关键是推出矛盾,通常可导致哪些方面的矛盾?__________.答案：与已知定义、公理、定理及明显数学事实相矛盾，与已知条件相矛盾，与假设自相矛盾等8．在空间是否存在这样的多面体,它有奇数个面,且它的每个面又都有奇数条边?__________.解析：假设多面体有n个面（n为奇数），且每个面的边数分别为S1，S2，…，Sn（Si为奇数，i=1,2,…,n），则多面体的总边数为S，因为每条边
4、都是公用的，所以S1+S2+…+Sn=2S.这里左边为奇数个奇数的和，为奇数；但右边为偶数，矛盾.答案：不存在（或不可能有）9．对于函数f(x)=,找不到这样的正数A,使得在整个定义域内
5、f(x)
6、＜A恒成立,试加以证明.证明：f(x)的定义域为（-∞,0）∪(0,+∞).假设存在一个正数A，使得当x≠0时，恒有
7、f(x)
8、＜A成立，即
9、
10、＜A(A＞0)对x≠0恒成立.我们取x=代入上式，得＜A,即
11、2A
12、＜A.∵A＞0,∴2A＜A,即2＜1.这就导致矛盾，于是命题得证.10．求证:正弦函数没有比2π小的正周期.证明：假设T是正弦函数的周期，且0＜T＜2π，则对任意实数x都有sin(x+T
13、)=sinx成立，令x=0，得sinT=0,即T=kπ,k∈Z.又0＜T＜2π,故T=π,从而对任意实数x都有sin(x+π)=sinx，这与sin(+π)≠sin矛盾.所以正弦函数没有比2π小的正周期.综合运用11．若a、b、c、d都是有理数,都是无理数,证明当时,必有a=b,c=d.证明：假设a≠b,令a=b+m(则m是不等于零的有理数)，于是b+m+=b+.∴m+=,两边平方整理得,左边是无理数右边是有理数，矛盾，因此a=b.从而又得c=d.12．试证明抽屉原理:如果将m个物体放在n个抽屉里,则至少有一个抽屉含有［］+1个物体(其中［］表示不超过的最大整数).命题简单化就是:把5个苹
14、果放进2个抽屉里,则可断言至少有一个抽屉放着不少于3个的苹果.证明：（用反证法）小于m的n的最大倍数是由减去其分数部分所得的整数，即是［］.假设不存在有一个抽屉含有［］+1个物体，即每个抽屉含的物体最多是［］个，而总共有n个抽屉，所以这n个抽屉所含的物体的总数小于等于n［］≤n·=m-1＜m,这与已知有m个物体矛盾，所以至少有一个抽屉里有［］+1个（或更多）物体.拓展探究13．用反证法证明:若函数f(x)在区间［a,b］上是增函数,那么方程f(x)=0在区间［a,b］上至多只有一个实根.思路分析：函数f(x)在区间［a,b］上是增函数，就是表明对区间［a,b］上任意x1,x2，若x1＜x
15、2，则f(x1)＜f(x2)，所以如果反设方程f(x)=0在区间［a,b］上至少有两个根α,β(α＜β)，则有f(α)=f(β)=0这与假设矛盾.证明：假设方程f(x)=0在区间［a,b］上至少有两个实根，设α、β为其中的两个实根.因为α≠β,不妨设α＜β，又因为函数f(x)在［a,b］上是增函数，所以f(α)＜f(β).这与假设f(α)=0=f(β)矛盾,所以方程f(x)=0在区间［a,b］上至多只有一个实根.
