高三数学总复习 8.3空间点、直线、平面之间的位置关系

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1、河北省抚宁县第六中学高三数学总复习8.3空间点、直线、平面之间的位置关系选用教材高中总复习优化设计知识模块立体几何课型复习教学目标知识与技能理解空间直线、平面位置关系的定义过程与方法了解四个公理和等角定理，并能以此作为推理的依据情感态度价值观建立立体感重点理解空间直线、平面位置关系的定义难点了解四个公理和等角定理，并能以此作为推理的依据关键对组成空间的基本元素：点、线、面之间的位置关系要掌握教学方法及课前准备学生自主探究讲练结合教学流程多媒体辅助教学内容一、平面的基本性质【例1】定线段AB所在的直线与定平面α相交，P为直线AB外一点，且P不在α内，若直线AP，BP与α分别交于C，D

2、点，求证：不论P在什么位置，直线CD必过一定点．证明：设定线段AB所在直线为l，与平面α交于O点，即l∩α＝O.由题意可知，AP∩α＝C，BP∩α＝D，∴C∈α，D∈α.又∵AP∩BP＝P，∴AP，BP可确定一平面β，且C∈β，D∈β.∴CD＝α∩β.∵A∈β，B∈β，∴lβ.∴O∈β.∴O∈α∩β，即O∈CD.∴不论P在什么位置，直线CD必过一定点．方法提炼证明三点共线通常有两种方法：一是首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点，于是可得这三点都在这两个平面的交线上，即三点共线；二是选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在这条直线上，从而得出三点共线．二、空间中

3、两条直线的位置关系【例2】在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是CD的中点，连接AE并延长与BC的延长线交于点F，连接BE并延长交AD的延长线于点G，连接FG.求证：直线FG平面ABCD，且直线FG∥直线A1B1.【例2】证明：已知E是CD的中点，在正方体ABCDA1B1C1D1中，有A∈平面ABCD，E∈平面ABCD，所以AE平面ABCD.又因为AE∩BC＝F，所以F∈AE.从而F∈平面ABCD.同理G∈平面ABCD，所以FG平面ABCD.因为ECAB，故在Rt△FBA中，CF＝BC，同理DG＝AD.又在正方形ABCD中，BCAD，所以CFDG.所以四边形CFGD是平行四边形．

4、所以FG∥CD.又CD∥AB，AB∥A1B1，所以直线FG∥直线A1B1.方法提炼1．证明或判断空间两直线平行最常用的方法是公理4.平行线的传递性即若a∥b，b∥c，则a∥c.2．判断两直线为异面直线的常用方法．过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线，如图．【典例】已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为__________．解析：设正方体的棱长为a.连接A1E，可知D1F∥A1E，∴异面直线AE与D1F所成的角可转化为AE与A1E所成的角，在△AEA1中，cos∠AEA1=.答案：答

5、题指导：1.(1)在用平行平移的方法将异面直线所成的角转化为三角形内角时，忽视对三角形内角“即为两异面直线所成角或其补角”的叙述．(2)通过解三角形得到某一内角的余弦值为负值后，忽视角的范围，不知将其转化为正值来处理．2．求异面直线所成角一般用平移法：①一作：即找或作平行线，作出异面直线所成的角．②二证：即证明作出的角是异面直线所成的角．③三求：解三角形，求出所作的角，注意为锐角或直角．1．关于直线m，n与平面α，β，有以下四个命题：①若m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n；②若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n；③若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n；④若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n

6、.其中真命题有(　　)．A．1个B．2个C．3个D．4个解析：若m∥α，n∥β且α∥β，则m与n可能平行，也可能相交或异面，故①错；若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m与n可能平行，也可能相交或异面，故②错；若m⊥α，且α∥β，则m⊥β，又n∥β，所以m⊥n，故③为真命题；若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n，故④为真命题．因此真命题有2个．2．(2012浙江高考)设l是直线，α，β是两个不同的平面，(　　)．A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β解析：A选项中由l∥α，l∥β不能确定α与β的位置关系，C选项

7、中由α⊥β，l⊥α可推出l∥β或lβ，D选项由α⊥β，l∥α不能确定l与β的位置关系．3．设A，B，C，D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是(　　)．A．若AC与BD共面，则AD与BC共面B．若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线C．若AB＝AC，DB＝DC，则AD＝BCD．若AB＝AC，DB＝DC，则AD⊥BC解析：A中，若AC与BD共面，则A，B，C，D四点共面，则AD与BC共面；B中，若AC与BD是异面直线，则A，B，C，D四点不共面，则AD与