2018高考数学异构异模复习 第三章 导数及其应用 3.1 导数的概念及计算撬题 文

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1、2018高考数学异构异模复习考案第三章导数及其应用3.1导数的概念及计算撬题文1．函数f(x)＝excosx的图象在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为(　　)A.B．0C.D．1答案　A解析　由f′(x)＝ex(cosx－sinx)，则在点(0，f(0))处的切线的斜率k＝f′(0)＝1，故倾斜角为，选A.2.下列四个图象中，有一个是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－4)x＋1(a∈R，a≠0)的导函数y＝f′(x)的图象，则f(1)＝(　　)A.B.C．－D．1答案　C解析　f′(x)＝x2＋2ax＋(a2－4)，由a≠0，结

2、合导函数y＝f′(x)的图象，知导函数图象为③，从而可知a2－4＝0，解得a＝－2或a＝2，再结合－>0知a<0，所以a＝－2，代入可得函数f(x)＝x3－2x2＋1，可得f(1)＝－，故选C.3．已知t为实数，f(x)＝(x2－4)·(x－t)且f′(－1)＝0，则t等于(　　)A．0B．－1C.D．2答案　C解析　依题意得，f′(x)＝2x(x－t)＋(x2－4)＝3x2－2tx－4，∴f′(－1)＝3＋2t－4＝0，即t＝.4.设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝(x>0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为______

3、__．答案　(1,1)解析　y′＝ex，则y＝ex在点(0,1)处的切线的斜率k切＝1，又曲线y＝(x>0)上点P处的切线与y＝ex在点(0,1)处的切线垂直，所以y＝(x>0)在点P处的切线的斜率为－1，设P(a，b)，则曲线y＝(x>0)上点P处的切线的斜率为y′

4、x＝a＝－a－2＝－1，可得a＝1，又P(a，b)在y＝上，所以b＝1，故P(1,1)．5．若曲线y＝xlnx上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________．答案　(e，e)解析　由题意得y′＝lnx＋x·＝1＋lnx，直线2x－y＋1＝0的

5、斜率为2.设P(m，n)，则1＋lnm＝2，解得m＝e,所以n＝elne＝e，即点P的坐标为(e，e)．6．若对于曲线f(x)＝－ex－x(e为自然对数的底数)的任意切线l1，总存在曲线g(x)＝ax＋2cosx的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为________．答案　[－1,2]解析　易知函数f(x)＝－ex－x的导数为f′(x)＝－ex－1，设l1与曲线f(x)＝－ex－x的切点为(x1，f(x1))，则l1的斜率k1＝－ex1－1.易知函数g(x)＝ax＋2cosx的导数为g′(x)＝a－2sinx，设l2与曲线

6、g(x)＝ax＋2cosx的切点为(x2，g(x2))，则l2的斜率k2＝a－2sinx2.由题设可知k1·k2＝－1，从而有(－ex1－1)(a－2sinx2)＝－1，∴a－2sinx2＝，故由题意知对任意x1，总存在x2使得上述等式成立，则有y1＝的值域是y2＝a－2sinx2值域的子集，则(0,1)⊆[a－2，a＋2]，则∴－1≤a≤2.7．已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12和直线m：y＝kx＋9，且f′(－1)＝0.(1)求a的值；(2)是否存在实数k，使直线m既是曲线y＝f(x)的

7、切线，又是曲线y＝g(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．解　(1)由已知得f′(x)＝3ax2＋6x－6a，∵f′(－1)＝0，∴3a－6－6a＝0，∴a＝－2.(2)存在．由已知得，直线m恒过定点(0,9)，若直线m是曲线y＝g(x)的切线，则设切点为(x0,3x＋6x0＋12)．∵g′(x0)＝6x0＋6，∴切线方程为y－(3x＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)，将(0,9)代入切线方程，解得x0＝±1.当x0＝－1时，切线方程为y＝9；当x0＝1时，切线方程为y＝12x＋9.由(1)知f(x)

8、＝－2x3＋3x2＋12x－11，①由f′(x)＝0得－6x2＋6x＋12＝0，解得x＝－1或x＝2.在x＝－1处，y＝f(x)的切线方程为y＝－18；在x＝2处，y＝f(x)的切线方程为y＝9，∴y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9.②由f′(x)＝12得－6x2＋6x＋12＝12，解得x＝0或x＝1.在x＝0处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11；在x＝1处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－10；∴y＝f(x)与y＝g(x)的公切线不是y＝12x＋9.综上所述，y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9，此时k＝

9、0.