高一数学 增效减负 正弦定理教学案

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1、正弦定理一、设计思想：定理教学中有一种简陋的处理方式：简单直接的定理呈现、照本宣科的定理证明，然后是大剂量的“复制例题”式的应用练习。本课采用实验探究、自主学习、合作交流的研究性学习方式，重点放在定理的形成、证明的探究及定理基本应用上，努力挖掘定理教学中蕴涵的思维价值。从实际问题出发，引入数学课题，最后把所学知识应用于实际问题。二、教学目标：让学生从已有的知识经验出发,通过对特殊三角形边角间数量关系的探求，发现正弦定理；再由特殊到一般，从定性到定量，探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，猜想，比较，推导正弦

2、定理，由此培养学生合情推理探索数学规律的数学思考能力；培养学生联想与引申的能力，探索的精神与创新的意识，同时通过三角函数、向量与正弦定理等知识间的联系来帮助学生初步树立事物之间的普遍联系与辩证统一的唯物主义观点。三、教学重点与难点：本节课的重点是正弦定理的探索、证明及其基本应用；难点是正弦定理应用中“已知两边和其中一边的对角解三角形，判断解的个数”，以及逻辑思维能力的培养。四、教学过程设计：ABC（一）创设情境:如图，现在河岸两侧A，B两点间建一座桥，需要知道A，B间的距离．由于环境因素不能直接测量A，B间的距离．你有办法间

3、接测量A，B两点间的距离吗？引出：解三角形——已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程。[设计意图：从实际问题出发，引入数学课题。]师：解三角形，需要用到许多三角形的知识，你对三角形中的边角知识知多少？生：······，“大角对大边，大边对大角”师：“a＞b＞c←→A＞B＞C”，这是定性地研究三角形中的边角关系，我们能否更深刻地、从定量的角度研究三角形中的边角关系？引出课题：“正弦定理[设计意图：从联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识

4、结构。]（二）猜想、实验：1、发散思维，提出猜想：从定量的角度考察三角形中的边角关系，猜想可能存在哪些关系？[学情预设：此处，学生根据已有知识“a＞b＞c←→A＞B＞C”，可能出现以下答案情形。如a/A=b/B=c/C,a/sinA=b/sinB=c/sinC,a/cosA=b/cosB=c/cosC,a/tanA=b/tanB=c/tanC，······等等。][设计意图：培养学生的发散思维，猜想也是一种数学能力]2、研究特例，提炼猜想：考察等边三角形、特殊直角三角形的边角关系，提炼出asinA=bsinB=csin

5、C。3、实验验证，完善猜想：这一关系式在任一三角形中是否成立呢？请学生以量角器、刻度尺、计算器为工具，对一般三角形的上述关系式进行验证，教师用几何画板演示。在此基础上，师生一起得出猜想，即在任意三角形中，有asinA=bsinB=csinC。[设计意图：着重培养学生对问题的探究意识和动手实践能力]（三）证明探究：对此猜想，据以上直观考察，我们感情上是完全可以接受的，但数学需要理性思维。如何通过严格的数学推理，证明正弦定理呢？1、特殊入手，探究证明：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边

6、的等式关系。在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,，根据锐角的正弦函数的定义，有，，又,则，从而在直角三角形ABC中，。2、推广拓展，探究证明：问题2：在锐角三角形ABC中，如何构造、表示“a与、b与sinB”的关系呢？探究1：能否构造直角三角形，将问题化归为已知问题？[学情预设：此处，学生可能出现以下答案情形。学生对直角三角形中证明定理的方法记忆犹新，可能通过以下三种方法构造直角三角形。生1：如图1，过C作BC边上的线CD，交BA的延长线于D，得到直角三角形DBC。生2：如图2，过A作BC边上的高线AD，化归为两

7、个直角三角形问题。生3：如图3，分别过B、C作AB、AC边上的垂线，交于D，连接AD，也得到两个直角三角形······]经过师生讨论指出：方法2，简单明了，容易得到“c与、b与sinB”的关系式。[知识链接：根据化归——这一解决数学问题的重要思想方法，把锐角三角形中正弦定理的证明归结为直角三角形问题是自然不过的。而方法3将把问题延伸到四点共圆，深究下去，可得=2R，对此，可留做课后思考解决]图1图2_c_b_a_a_C(bcosA,bsinA)_D(acos(-B),asin(-B))_B(c,0)图3图4探究2：能否引入向

8、量，归结为向量运算？（1）图2中蕴涵哪些向量关系式？学生探究，师生、生生之间交流讨论，得（这三个式子本质上是相同的）,等,（2）如何将向量关系转化为数量关系？(施以什么运算?)生：施以数量积运算（3）可取与哪些向量的数量积运算？[学情预设：此处，学生可能会做如下种种尝试，如两边自乘平方、两