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1、第十一讲平面向量与复数平面向量：一．平面向量的有关概念1．向量：既有大小又有方向的量叫向量；2．向量的模：指表示向量的有向线段的长度；3．零向量：指模长为0的向量（方向是任意的）。4．单位向量：指模长为1的向量。5．平行向量：方向相同或相反的向量叫平行向量，平行向量也叫共线向量，零向量与任意向量共线。二．平面向量的基本运算1．加法：（1）向量加法的三角形法则——（2）向量加法的多边形法则——向量加法的平行四边形法则（对共线向量不适用）。向量加法满足交换律和结合律。2．减法：当两个向量起点相同时，其结果就是减向量的终点（C）指向被减向量的终点（B），即。向量的减法可转化为加法来实施，
2、如：3．实数与向量的积：实数与向量的积仍为向量，记作。当时，与的方向相同；当时，与的方向相反；当时，。应明确是共线向量。4．平面向量的数量积：两个向量的数量积是两个向量的一种乘法运算，其结果是数量。它等于两个向量的模与两个向量夹角余弦的乘积。即（其中）。[注意：向量的数量积满足交换律、分配律以及对实数的结合律，即；；()()()。]三、平面向量的有关概念1．向量坐标的定义：由平面向量的基本定理知，平面中任一向量可唯一表示的形式，与实数对是一一对应的。若向量用有向线段表示，A、B两点的坐标分别为：、，则。2．向量的坐标运算：若，，则；。，，；若，，则（两点距离公式），四、平面向量的有
3、关公式1．中点坐标公式：的中点坐标为；2．定比分点坐标公式：若，则点坐标为。第6页共6页3．平移：点的平移公式，表示按向量平移后得到的点，它反映了平移前后点的坐标之间的关系。五．常考题型与方法有：1．证明几何中的三点共线、两直线平行问题，使用的是向量共线定理。2．求有关长度、角度或证明垂直问题，使用向量数量积的有关性质。3．在共线、平行或垂直的条件下，求相关向量式子中字母系数的值，实际上是上述定理性质的逆用。4．证明简单的平面几何问题，可根据向量的基本定理、在平面图形中选择适宜的一组基底，并用它们线性表示平面中的其他向量，再通过向量的运算解决问题。5．向量关系式的对错判断：（1）向
4、量既有大小，又有方向；（2）两向量之间不能比较大小；（3）向量与数量之间不能做加减运算，向量也不能与数量相等；（4）向量的模是数量，不是向量；（5）两个向量的数量积是数量，不是向量；（6）当两个向量都不是零向量时，它们的数量积也可以是零；（7）两个向量的数量积没有逆运算；（8）向量的数量积关于向量不满足结合律。2．向量的运算运算律：⑴加法交换律：⑵加法结合律：⑶数乘分配律：3、向量的数量积（1）向量的夹角：对于非零向量a，b，在空间任取一点O作，，则∠AOB叫做与的夹角，记作.（2）向量数量积的定义：向量与任何向量的数量积为0（3）向量垂直的充要条件：数量积等于零（4）夹角公式：典
5、型例题：[例1]已知中，A（2，）B（3，2）C（，）BC边上的高为AD，求及D点坐标。解：设D点坐标为（，），D分所成的比为第6页共6页则，，∵∴∴∴∴，∴D点坐标为（1，1），例2、平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点，，若点C满足，其中，且，则点C的轨迹方程为（）．（A）（B）（C）（D）解析：已知不共线，有，且其中．因此点在两点确定的直线上，利用两点式直线方程公式立即有，即．故选D.例3．已知A(4,5)，B(1,2)，C(12,1)，D(11,6)，求AC和BD的交点P的坐标．解：=(12,1)-(4,5)=(8,-4)，∵与共线，∴可设=(2l,-l)，∵A(4,5
6、)，∴P点的坐标为(2l+4,5-l)，=(2l+3,3-l)，=(10,4)，∵与共线，∴4´(2l+3)-10´(3-l)=0，解得l=1，∴P(6,4)．例4、例1．设平面上的向量a、b、x、y满足关系式：a=y-x，b=2x-y，又
7、a
8、=
9、b
10、=1，且a^b．(1)用a、b分别表示x与y；(2)求
11、x
12、与
13、y
14、；(3)求x与y的夹角q的余弦值．解：(1)易求得x=a+b，y=2a+b．(2)
15、x
16、=，
17、y
18、=．(3)cosq=．注：求向量的模，常用公式a×a=
19、a
20、2或
21、a
22、=，只要求出向量的平方后再开方就可以了．例5已知平行六面体ABCD－化简下列向量表达式，标出化简结
23、果的向量.⑴；⑵；⑶；⑷解：如图：第6页共6页⑴；⑵=；⑶设M是线段的中点，则；⑷设G是线段的三等份点，则向量如图所示:例6、，（1）为何值时，为实数；（2）为何值时，为虚数；（3）为何值时，为纯虚数解：（1）或（2）（3）例7、求的平方根。解：设的平方根为（、）∴∴∴或∴平方根为同步训练1．下面判断正确的是（D）A）平行向量一定方向相同B）共线向量一定相等C）相等向量一定不共线D）零向量与任一向量共线2．在平行四边形ABCD中，，则下列各等式中不正确的是（D）A）B
