高中数学 §1.3.1二项式定理学案 新人教a版选修2-3

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1、§1.3.1二项式定理【教学目标】1.理解二项式定理及推导方法，识记二项展开式的有关特征，能对二项式定理进行简单应用；2.通过对二项式定理内容的研究，体验特殊到一般的发现规律，一般到特殊指导实践的认识事物过程。【教学重难点】教学重点：二项式定理的内容及归纳过程；教学难点：在二项式展开的过程中，发现各项及各项系数的规律。【教学过程】一、设置情景，引入课题引入：二项式定理研究的是（a+b）n的展开式。如（a+b）2=a2+2ab+b2,（a+b）3=？，（a+b）4=？，那么（a+b）n的展开式是什么呢？二、引导探究，发现规律1、多项式乘法的再认识问题1：（a1+b1）(a2+b2)(a3

2、+b3)展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？2、（a+b）3展开式的再认识问题2：将上式中，若令a1=a2=a3=a,b1=b2=b3=b,则展开式又是什么？合作探究1：合并同类项后，为什么a2b的系数是3？教师引导：可以发现a2b是从（a+b）（a+b）（a+b）这三个括号中的任意两个中选a，剩下的一个括号中选b；利用组合知识可以得到a2b应该出现了C·C=3次，所以a2b的系数是3。问题3：（a+b）4的展开式又是什么呢？可以对（a+b）4按a或按b进行分类：（1）四个括号中全都取a，得：Ca4（2）四个括号中有3个取a，剩下的1个取b，得：Ca3·Cb（3）四个括号中有2个取a

3、，剩下的2个取b，得：Ca2·Cb2（4）四个括号中有1个取a，剩下的3个取b，得：Ca·Cb3（5）四个括号中全都取b，得：Cb4小结：对于展开式，只要按一个字母分类就可以了，可以按a分类，也可以按b分类，再如：（1）不取b：Ca4；（2）取1个b：Ca3b；（3）取2个b：Ca2b2；（4）取3个b：Cab3；（5）取4个b：Cb4，然后将上面各式相加得到展开式。结论：（a+b）4=Ca4+Ca3b+Ca2b2+Cab3+Cb4三、形成定理，说理证明问题4：（a+b）n的展开式又是什么呢？合作探究2:(1)将（a+b）n展开有多少项？（2）每一项中，字母a，b的指数有什么特点？（3）字

4、母“a”、“b”指数的含义是什么？是怎么得到的？（4）如何确定“a”、“b”的系数？猜想：证明：对（a+b）n分类，按b可以分n+1类，（1）不取b：Can；（2）取1个b：Can-1b；（3）取2个b：Can-2b2；………………（k+1）取k个b：Can-kbk；………………(n+1)取n个b：Cbn；然后将这n+1个式子加起来，就得到二项展开式，(a+b)n=an+an-1b+…+an-kbk+…+bn(n∈N+)这就是二项式定理。四、熟悉定理，简单应用二项式定理的公式特征（由学生归纳，让学生熟悉公式）（1）项数：共有n+1项；（2）次数：字母a按降幂排列，次数由n递减到0；字母b按

5、升幂排列，次数由0递增到n；（3）二项式系数：下标为n，上标由0递增至n；（4）通项:Tk+1=Can-kbk；指的是第k+1项，该项的二项式系数为C；（5）公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫做（a＋b）n的二项展开式。例1求的展开式分析：为了方便，可以先化简后展开。例2①的展开式的第4项的系数及第4项的二项式系数。②求的展开式中含的系数。五、当堂检测1.写出（p+q）7的展开式；2.求（2a+3b）6的展开式的第3项；3.写出的展开式的第r+1项；4.（x-1）10的展开式的第6项的系数是（）（A）(B)(C)(D)答案：1.（p+q）7=p7+7p6q+21p5q2+35p4

6、q3+35p3q4+21p2q5+7pq6+q7.六、课堂小结公式：思想方法：（1）从特殊到一般的思维方式.（2）用计数原理分析二项式的展开过程.七、布置作业