高中数学 3.3.1两直线的交点坐标学案 新人教版必修2

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1、第一课时　两直线的交点坐标、两点间的距离(新授课)[提出问题]已知二元一次方程组问题1：二元一次方程组的解法有哪些？提示：代入消元法、加减消元法．问题2：在方程组中，每一个方程都可表示为一直线，那么方程组的解说明什么？提示：两直线的公共部分，即交点．问题3：若给出两直线y＝x＋1与y＝3x－2，如何求其交点坐标？提示：联立解方程组求方程组的解即可得．[导入新知]1．两直线的交点坐标几何元素及关系代数表示点AA(a，b)直线ll：Ax＋By＋C＝0点A在直线l上Aa＋Bb＋C＝0直线l1与l2的交点是A方程组的解是2．两直线的位置关系方程组的解一组无数组无解直线l1与l2的公共点个数一个无

2、数个零个直线l1与l2的位置关系相交重合平行[化解疑难]两直线相交的条件(1)将两直线方程联立解方程组，依据解的个数判断两直线是否相交．当方程组只有一解时，两直线相交．(2)设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2相交的条件是A1B2－A2B1≠0或≠(A2，B2≠0)．(3)设两条直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则l1与l2相交⇔k1≠k2.[提出问题]数轴上已知两点A，B.问题1：如何求A、B两点间的距离？提示：

3、AB

4、＝

5、xA－xB

6、.问题2：在平面直角坐标系中能否用数轴上两点间距离求出任意两点间距离？提示：可以，构造直角三

7、角形利用勾股定理求解．[导入新知]两点间的距离公式(1)公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式

8、P1P2

9、＝.(2)文字叙述：平面内两点的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根．[化解疑难]两点间距离公式的理解(1)此公式与两点的先后顺序无关，也就是说公式也可写成

10、P1P2

11、＝.(2)当直线P1P2平行于x轴时，

12、P1P2

13、＝

14、x2－x1

15、.当直线P1P2平行于y轴时，

16、P1P2

17、＝

18、y2－y1

19、.当点P1、P2中有一个是原点时，

20、P1P2

21、＝.[例1]　判断下列各组直线的位置关系．如果相交，求出交点的坐标：(1)l1：5x＋4y－2＝0，l2：2

22、x＋y＋2＝0；(2)l1：2x－6y＋3＝0，l2：y＝x＋；(3)l1：2x－6y＝0，l2：y＝x＋.[解]　(1)解方程组得所以l1与l2相交，且交点坐标为.(2)解方程组②×6整理得2x－6y＋3＝0.因此，①和②可以化成同一个方程，即①和②表示同一条直线，l1与l2重合．(3)解方程组②×6－①得3＝0，矛盾．方程组无解，所以两直线无公共点，l1∥l2.[类题通法]判断两直线的位置关系，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况．(1)解方程组的重要思想就是消元，先消去一个变量，代入另外一个方程能解出另一个变量的值．(2)解题过程中注意对其中参数进行分类讨论．(3)最后把方程

23、组解的情况还原为直线的位置关系．[活学活用]1．判断下列各对直线的位置关系．若相交，求出交点坐标：(1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0；(2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0.解：(1)解方程组得所以直线l1与l2相交，交点坐标为(－1，－1)．(2)解方程组①×2－②，得1＝0，矛盾，方程组无解．所以直线l1与l2无公共点，即l1∥l2.[例2]　求证：不论m为何实数，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都过某一定点．[证明]　法一：取m＝1时，直线方程为y＝－4；取m＝时，直线方程为x＝9.两直线的交点为P(9，－4)，将点P的坐标代入原方程左边＝(

24、m－1)×9＋(2m－1)×(－4)＝m－5.故不论m取何实数，点P(9，－4)总在直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5上，即直线恒过点P(9，－4)．法二：原方程化为(x＋2y－1)m＋(－x－y＋5)＝0.若对任意m都成立，则有得所以不论m为何实数，所给直线都过定点P(9，－4)．[类题通法]解含有参数的直线恒过定点的问题(1)方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解．(2)方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是参数，这就说明

25、了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组解得．若整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x0，y0)．[活学活用]2．求经过两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l的方程．解：法一：由方程组解得即l1与l2的交点坐标为(－2,2)．∵直线过坐标原点，所以其斜率k＝＝－1，直线方程为y＝－x，一般式为x＋y＝0.法二：∵l2不过原点，∴可设l的方程为3x＋4y－2＋λ(2