《两直线的交点坐标 》（人教版）

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1、本课时编写：合肥世界外国语学校刘志荣老师第三章·直线与方程两条直线的交点坐标1.理解两直线的交点与方程组的解之间的关系，会求两条相交直线的交点坐标；(重点)2.能够根据方程组解的个数来判断两直线的位置关系。(难点)情境导入学习目标由直线方程的概念，我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系，那如果两直线相交于一点，这一点与这两条直线的方程有何关系？你能求出它们的交点坐标吗？说说你的看法。引入新课课堂探究探究1：如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什关系？两条直线的交点几何元素及关系代数表示点A直线l点A在直线l上直线

2、l1与l2的交点是AA的坐标满足方程A的坐标是方程组的解结论：一般地，将两条直线的方程联立，如果方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两直线平行。交点坐标即是方程组的解例1求下列两条直线的交点坐标：解：解方程组所以l1与l2的交点坐标为M（-2，2）。(如图所示)得l1Ml2λ=0时，方程为l1：3x+4y-2=0λ=1时，方程为l2：5x+5y=0λ=-1时，方程为l3：x+3y-4=0解：先以特殊值引路：探究2：当λ变化时，方程3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0表示何图形?图形有何特点

3、？xyl20l1l3作出相应的直线探究发现：此方程表示经过直线3x+4y-2=0与直线2x+y+2=0交点的直线束（直线集合）是过直线A1x+B1y+C1=0和直线A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程。共点直线系方程：总结提升例2：求经过两条直线x+2y－1=0和2x－y－7=0的交点，且垂直于直线x+3y－5=0的直线方程。解法一：解方程组得x=3y=－1∴这两条直线的交点坐标为（3，-1）∴所求直线的斜率是3所求直线方程为y+1=3（x－3）即3x－y－10=0x+2y－1=0，2x－y－7=0解法二：所求直线在直线系2x－y－7+

4、λ（x+2y－1）=0中经整理，可得（2+λ）x+（2λ－1）y－λ－7=0∴－———=32+λ2λ－1因此，所求直线方程为3x－y－10=0总结：过直线A1x+B1y+C1=0和直线A2x+B2y+C2=0交点的直线，可设为：(1)若方程组有且只有一个解,(2)若方程组无解,(3)若方程组有无数个解,则l1与l2相交;则l1与l2重合。探究3：两直线位置关系与两直线的方程组成的方程组的解的情况有何关系？则l1与l2平行;例3判断下列各对直线的位置关系。如果相交，求出交点的坐标。解:（1）解方程组得所以l1与l2相交，交点坐标为（2）解方程组

5、得矛盾，所以方程组无解，两直线无公共点，故平行。得因此，可以化成同一个方程，表示同一直线，重合。解方程组（3）探究4：如何根据两直线的方程系数之间的关系来判定两直线的位置关系？1.判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标。答案：(1)相交，交点坐标(2)相交，交点坐标（0，）(3)平行课堂练习2.求过点A(1，－4)且与直线2x＋3y＋5=0平行的直线方程。解法一：∵直线2x＋3y＋5=0的斜率为-，∴所求直线斜率为-，又直线过点A(1，－4)，由直线方程的点斜式易得所求直线方程为2x＋3y＋10=0。点评：解法一求直线方程的方法

6、是通法，须掌握。解法二是常常采用的解题技巧。一般地，直线Ax＋By＋C=0中系数A、B确定直线的斜率。因此，与直线Ax＋By＋C=0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m=0，其中m待定。解法二：设与直线2x＋3y＋5=0平行的直线l的方程为2x＋3y＋m=0，∵l经过点A(1，－4),∴2×1＋3×(－4)＋m=0。解之,得m=10。∴所求直线方程为2x＋3y＋10=0。3.方程组解的情况与方程组所表示的两条直线的位置关系。时，两条直线相交；当当时，两条直线平行；当时，两条直线重合。(1)若方程组有且只有一个解,(2)若方程组无解,(3)若方程

7、组有无数个解,则l1与l2相交;则l1与l2重合。课堂小结交点坐标即是方程组的解1、两直线位置关系与两直线的方程组成的方程组的解的关系:则l1与l2平行;2、利用两直线的方程系数之间的关系来判定两直线的位置关系：是过直线A1x+B1y+C1=0和直线A2x+B2y+C2=03、共点直线系方程：的交点的直线系方程。