《两直线的交点坐标 》(人教版)

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时间:2019-06-08

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1、本课时编写:合肥世界外国语学校刘志荣老师第三章·直线与方程两条直线的交点坐标1.理解两直线的交点与方程组的解之间的关系,会求两条相交直线的交点坐标;(重点)2.能够根据方程组解的个数来判断两直线的位置关系。(难点)情境导入学习目标由直线方程的概念,我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系,那如果两直线相交于一点,这一点与这两条直线的方程有何关系?你能求出它们的交点坐标吗?说说你的看法。引入新课课堂探究探究1:如果两条直线相交,怎样求交点坐标?交点坐标与二元一次方程组有什关系?两条直线的交点几何元素及关系代数表示点A直线l点A在直线l上直线

2、l1与l2的交点是AA的坐标满足方程A的坐标是方程组的解结论:一般地,将两条直线的方程联立,如果方程组有唯一解,则两条直线相交,此解就是交点坐标;若方程组无解,则两条直线无公共点,此时两直线平行。交点坐标即是方程组的解例1求下列两条直线的交点坐标:解:解方程组所以l1与l2的交点坐标为M(-2,2)。(如图所示)得l1Ml2λ=0时,方程为l1:3x+4y-2=0λ=1时,方程为l2:5x+5y=0λ=-1时,方程为l3:x+3y-4=0解:先以特殊值引路:探究2:当λ变化时,方程3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0表示何图形?图形有何特点

3、?xyl20l1l3作出相应的直线探究发现:此方程表示经过直线3x+4y-2=0与直线2x+y+2=0交点的直线束(直线集合)是过直线A1x+B1y+C1=0和直线A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程。共点直线系方程:总结提升例2:求经过两条直线x+2y-1=0和2x-y-7=0的交点,且垂直于直线x+3y-5=0的直线方程。解法一:解方程组得x=3y=-1∴这两条直线的交点坐标为(3,-1)∴所求直线的斜率是3所求直线方程为y+1=3(x-3)即3x-y-10=0x+2y-1=0,2x-y-7=0解法二:所求直线在直线系2x-y-7+

4、λ(x+2y-1)=0中经整理,可得(2+λ)x+(2λ-1)y-λ-7=0∴-———=32+λ2λ-1因此,所求直线方程为3x-y-10=0总结:过直线A1x+B1y+C1=0和直线A2x+B2y+C2=0交点的直线,可设为:(1)若方程组有且只有一个解,(2)若方程组无解,(3)若方程组有无数个解,则l1与l2相交;则l1与l2重合。探究3:两直线位置关系与两直线的方程组成的方程组的解的情况有何关系?则l1与l2平行;例3判断下列各对直线的位置关系。如果相交,求出交点的坐标。解:(1)解方程组得所以l1与l2相交,交点坐标为(2)解方程组

5、得矛盾,所以方程组无解,两直线无公共点,故平行。得因此,可以化成同一个方程,表示同一直线,重合。解方程组(3)探究4:如何根据两直线的方程系数之间的关系来判定两直线的位置关系?1.判断下列各对直线的位置关系,如果相交,求出交点的坐标。答案:(1)相交,交点坐标(2)相交,交点坐标(0,)(3)平行课堂练习2.求过点A(1,-4)且与直线2x+3y+5=0平行的直线方程。解法一:∵直线2x+3y+5=0的斜率为-,∴所求直线斜率为-,又直线过点A(1,-4),由直线方程的点斜式易得所求直线方程为2x+3y+10=0。点评:解法一求直线方程的方法

6、是通法,须掌握。解法二是常常采用的解题技巧。一般地,直线Ax+By+C=0中系数A、B确定直线的斜率。因此,与直线Ax+By+C=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0,其中m待定。解法二:设与直线2x+3y+5=0平行的直线l的方程为2x+3y+m=0,∵l经过点A(1,-4),∴2×1+3×(-4)+m=0。解之,得m=10。∴所求直线方程为2x+3y+10=0。3.方程组解的情况与方程组所表示的两条直线的位置关系。时,两条直线相交;当当时,两条直线平行;当时,两条直线重合。(1)若方程组有且只有一个解,(2)若方程组无解,(3)若方程

7、组有无数个解,则l1与l2相交;则l1与l2重合。课堂小结交点坐标即是方程组的解1、两直线位置关系与两直线的方程组成的方程组的解的关系:则l1与l2平行;2、利用两直线的方程系数之间的关系来判定两直线的位置关系:是过直线A1x+B1y+C1=0和直线A2x+B2y+C2=03、共点直线系方程:的交点的直线系方程。

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