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《高中数学 2.1.2数列的通项公式与递推公式导学案（含解析）新人教版必修5》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、数列的概念与简单表示法第二课时 数列的通项公式与递推公式目标定位：1.了解递推公式是给出数列的一种方法。2.理解递推公式的含义，能根据递推公式写出数列的前几项。（重点）3.掌握由一些简单的递推公式求数列的通项公式的方法。（难点）数列的递推关系[提出问题]某剧场有30排座位，第一排有20个座位，从第二排起，后一排都比前一排多2个座位(如图)．问题1：写出前五排座位数．提示：20,22,24,26,28.问题2：第n排与第n＋1排座位数有何关系？提示：第n＋1排比第n排多2个座位．问题3：第n排座位数an与第n＋1排座位数an＋1能用等式表示吗？提示：能．an＋1＝an＋2.[
2、导入新知]如果已知数列{an}的第一项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．[化解疑难]1．数列的递推公式是给出数列的另一重要形式，由递推公式可以依次求出数列的各项．2．有些数列的通项公式与递推公式可以相互转化，如数列1,3,5，…，2n－1，…的一个通项公式为an＝2n－1(n∈N*)．用递推公式表示为a1＝1，an＝an－1＋2(n≥2，n∈N*)．数列的表示方法[例1] 根据数列{an}的通项公式，把下列数列用图象表示出来(n≤5，且n∈N*)．(1)an＝(－1)n＋2；(2)a
3、n＝.[解] (1)数列{an}的前5项依次是1,3,1,3,1，图象如下图①所示．(2)数列{an}的前5项依次是2，，，，，图象如下图②所示．[类题通法]通项公式法、列表法与图象法表示数列优点(1)用通项公式表示数列，简洁明了，便于计算．公式法是常用的数学方法．(2)列表法的优点是不经过计算，就可以直接看出项数与项的对应关系．(3)图象能直观形象地表示出随着序号的变化，相应项变化的趋势．[活学活用]1．一辆邮车每天从A地往B地运送邮件，沿途(包括A，B)共有8站，从A地出发时，装上发往后面7站的邮件各一个，到达各站后卸下前面各站发往该站的邮件，同时装上该站发往后面各站的
4、邮件各一个．试用列表法表示邮车在各站装卸完毕后剩余邮件个数所成的数列．解：将A，B之间所有站按序号1,2,3,4,5,6,7,8编号．通过计算，各站装卸完毕后剩余邮件个数依次构成数列7,12,15,16,15,12,7,0，如下表：站号(n)12345678剩余邮件数(an)7121516151270由递推公式求数列中的项[例2] 已知数列{an}的第一项a1＝1，以后的各项由公式an＋1＝给出，试写出这个数列的前5项．[解] ∵a1＝1，an＋1＝，∴a2＝＝，a3＝＝＝，a4＝＝＝，a5＝＝＝.故该数列的前5项为1，，，，.[类题通法]根据递推公式写出数列的前几项，要弄
5、清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可．另外，解答这类问题时还需注意：若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式；若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式．[活学活用]2．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，以后各项由an＝an－1＋an－2(n≥3)给出．(1)写出此数列的前5项；(2)通过公式bn＝构造一个新的数列{bn}，写出数列{bn}的前4项．解：(1)∵an＝an－1＋an－2(n≥3)，且a1＝1，a2＝2，∴a3＝a2＋a1＝3，a4＝a3＋a2＝3＋2＝5，a5＝a4＋a3＝5＋3＝8.故数列{an}的前
6、5项依次为a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8.(2)∵bn＝，且a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8，∴b1＝＝，b2＝＝，b3＝＝，b4＝＝.故b1＝，b2＝，b3＝，b4＝.由递推公式归纳数列的通项公式[例3] 已知数列{an}的第1项是2，以后的各项由公式an＝(n＝2,3,4，…)给出，写出这个数列的前5项，并归纳出数列{an}的通项公式．[解] 可依次代入项数进行求值．a1＝2，a2＝＝－2，a3＝＝－，a4＝＝－，a5＝＝－.即数列{an}的前5项为2，－2，－，－，－.也可写为，，，，－.即分子都是－2，分母依次加2，且都是奇数，所以
7、an＝－(n∈N*)．[类题通法]根据递推公式写出数列的前几项，然后由前几项分析其特点、规律，归纳总结出数列的一个通项公式．[活学活用]3．已知数列{an}满足a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，写出该数列前5项，并归纳出它的一个通项公式．解：a1＝1，a2＝a1＋＝1＋＝，a3＝a2＋＝＋＝，a4＝a3＋＝＋＝，a5＝a4＋＝＋＝.故数列的前5项分别为1，，，，.由于1＝，＝，＝，＝，＝，故数列{an}的一个通项公式为an＝＝2－.[随堂即时演练]1．符合递推关系式an＝an－1的数列是( )A．1,2,3,
