高中数学 1.4.1生活中的优化问题举例（1）教案 新人教版选修1-1

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1、§1．4．1生活中的优化问题举例(1)【学情分析】：导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问题；4、效率最值问题。【教学目标】：1.掌握利用导数求函数最值的基本方法。2.提高将实际问题转化为数学问题的能力.提高学生综合、灵活运用导数的知识解决生活中问题的能力3．体会导数在解决实际问题中的作用.【教学重点】：利用导数解决生活中的一些优化问题．【教学难点】：将生活中的问题转化为用函数表示的数学问题，再用导数解决数学问题，从而得出问题的

2、最优化选择。【教学突破点】：利用导数解决优化问题的基本思路：解决数学模型作答用函数表示的数学问题优化问题用导数解决数学问题优化问题的答案【教法、学法设计】：【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图(1)复习引入：提问用导数法求函数最值的基本步骤学生回答：导数法求函数最值的基本步骤为课题作铺垫.(2)典型例题讲解例1、把边长为cm的正方形纸板的四个角剪去四个相等的小正方形(如图示)，折成一个无盖的盒子，问怎样做才能使盒子的容积最大？解设剪去的小方形的边长为，则盒子的为，求导数，得，选择一个学生感觉不是很难的题目作为例题，令得或，其中不合题意，故在区间内只有一

3、个根：，显然，因此，当四角剪去边长为cm的小正方形时，做成的纸盒的容积最大．让学生自己体验一下应用题中最优化化问题的解法。(3)利用导数解决优化问题的基本思路：1、生活中的优化问题转化为数学问题2、立数学模型（勿忘确定函数定义域）3、利用导数法讨论函数最值问题使学生对该问题的解题思路清析化。(4)加强巩固1例2、铁路AB段长100千米，工厂C到铁路的距离AC为20千米，现要在AB上找一点D修一条公路CD，已知铁路与公路每吨千米的运费之比为3:5，问D选在何处原料从B运到C的运费最省?解：设AD的长度为x千米，建立运费y与AD的长度x之间的函数关系式，则CD＝

4、，BD＝100-x，公路运费5k元／Tkm，铁路运费3k元／Tkmy＝，求出f'(x)＝，令f’(x)＝0，得3600＋9x2＝25x2解得x1＝15，x2＝-15(舍去)，∵y(15)＝330ky(0)＝400k，y(100)≈510k∴原料中转站D距A点15千米时总运费最省。使学生能熟练步骤.(5)加强巩固2例3、某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是分，其中是瓶子的半径，单位是厘米。已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm问题：（１）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？　　（２）瓶子的半

5、径多大时，每瓶的利润最小？解：由于瓶子的半径为，所以每瓶饮料的利润是令解得（舍去）当时，；当时，．当半径时，它表示单调递增，即半径越大，利润越高；当半径时，它表示单调递减，即半径越大，利润越低．（1）半径为cm时，利润最小，这时，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值．（2）半径为cm时，利润最大．换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数的图像上观察，会有什么发现？有图像知：当时，，即瓶子的半径为3cm时，饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等；当时，利润才为正值．当时，，为减函数，其实际意义为：瓶子的半径小于2cm时，瓶子的半径越大，利润越小

6、，半径为cm时，利润最小．提高提高问题的综合性，锻炼学生能力。(6)课堂小结1、建立数学模型（确立目标函数）是解决应用性性问题的关键2、要注意不能漏掉函数的定义域3、注意解题步骤的规范性(7)作业布置:教科书P104A组1,2,3。(8备用题目：1、要做一个圆锥形漏斗，其母线长为，要使其体积最大，则其高为（A）ABCD2、设正四棱柱体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为（A）ABCD3、设8分成两个数，使其平方和最小，则这两个数为4。4、用长度为的铁丝围成长方形，则围成的最大面积是4。5、某厂生产产品固定成本为500元，每生产一单位产品增加成本10元。已知

7、需求函数为：，问：产量为多少时，利润最大？最大利润是多少？解：先求出利润函数的表达式：再求导函数：求得极值点：q＝80。只有一个极值点，就是最值点。故得：q＝80时，利润最大。最大利润是：注意：还可以计算出此时的价格：p＝30元。6、用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器.先在四角分别截去一个小正方形.然后把四边翻转90度角，再焊接而成（如图）.问容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？解：设容器高为xcm，容器的体积为V(x)，则令令