高三数学大一轮复习 定积分及其简单的应用学案 理 新人教a版

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1、定积分及其简单的应用导学目标：1.以求曲边梯形的面积和汽车变速行驶的路程为背景准确理解定积分的概念.2.理解定积分的简单性质并会简单应用.3.会说出定积分的几何意义，能根据几何意义解释定积分.4.会用求导公式和导数运算法则，反方向求使F′(x)＝f(x)的F(x)，并运用牛顿—莱布尼茨公式求f(x)的定积分.5.会通过求定积分的方法求由已知曲线围成的平面图形的面积.6.能熟练运用定积分求变速直线运动的路程.7.会用定积分求变力所做的功．自主梳理1．定积分的几何意义：如果在区间[a，b]上函数f(x)

2、连续且恒有f(x)≥0，那么函数f(x)在区间[a，b]上的定积分的几何意义是直线________________________所围成的曲边梯形的________．2．定积分的性质(1)ʃkf(x)dx＝__________________(k为常数)；(2)ʃ[f1(x)±f2(x)]dx＝_____________________________________；(3)ʃf(x)dx＝_______________________________________.3．微积分基本定理一般地，如果

3、f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么ʃf(x)dx＝F(b)－F(a)，这个结论叫做__________________，为了方便，我们常把F(b)－F(a)记成__________________，即ʃf(x)dx＝F(x)

4、＝F(b)－F(a)．4．定积分在几何中的应用(1)当x∈[a，b]且f(x)>0时，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)围成的曲边梯形的面积S＝__________________.(2)当x∈[a，b]且f(x)<0时，

5、由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)围成的曲边梯形的面积S＝__________________.(3)当x∈[a，b]且f(x)>g(x)>0时，由直线x＝a，x＝b(a≠b)和曲线y＝f(x)，y＝g(x)围成的平面图形的面积S＝______________________.(4)若f(x)是偶函数，则ʃf(x)dx＝2ʃf(x)dx；若f(x)是奇函数，则ʃf(x)dx＝0.5．定积分在物理中的应用(1)匀变速运动的路程公式做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数

6、v＝v(t)[v(t)≥0]在时间区间[a，b]上的定积分，即________________________．(2)变力做功公式一物体在变力F(x)(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向从x＝a移动到x＝b(a

7、C.D.4．(2010·湖南)ʃdx等于(　　)A．－2ln2B．2ln2C．－ln2D．ln25．若由曲线y＝x2＋k2与直线y＝2kx及y轴所围成的平面图形的面积S＝9，则k＝________.探究点一　求定积分的值例1　计算下列定积分：(1)；(2)；(3)ʃ(2sinx－3ex＋2)dx；(4)ʃ

8、x2－1

9、dx.变式迁移1　计算下列定积分：(1)ʃ

10、sinx

11、dx；(2)ʃsin2xdx.探究点二　求曲线围成的面积例2　计算由抛物线y＝x2和y＝3－(x－1)2所围成的平面图形的面积S.变

12、式迁移2　计算曲线y＝x2－2x＋3与直线y＝x＋3所围图形的面积．探究点三　定积分在物理中的应用例3　一辆汽车的速度－时间曲线如图所示，求此汽车在这1min内所行驶的路程．变式迁移3　A、B两站相距7.2km，一辆电车从A站开往B站，电车开出ts后到达途中C点，这一段速度为1.2tm/s，到C点时速度达24m/s，从C点到B点前的D点以匀速行驶，从D点开始刹车，经ts后，速度为(24－1.2t)m/s，在B点恰好停车，试求：(1)A、C间的距离；(2)B、D间的距离；(3)电车从A站到B站所需的时

13、间．函数思想的应用例　(12分)在区间[0,1]上给定曲线y＝x2.试在此区间内确定点t的值，使图中的阴影部分的面积S1与S2之和最小，并求最小值．【答题模板】解　S1面积等于边长为t与t2的矩形面积去掉曲线y＝x2与x轴、直线x＝t所围成的面积，即S1＝t·t2－ʃx2dx＝t3.[2分]S2的面积等于曲线y＝x2与x轴，x＝t，x＝1围成的面积去掉矩形面积，矩形边长分别为t2,1－t，即S2＝ʃx2dx－t2(1－t)＝t3－t2＋.[4分]所以阴影部分面积S＝S