高三数学大一轮复习 一元二次不等式及其解法学案 理 新人教a版

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1、一元二次不等式及其解法导学目标：1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．自主梳理1．一元二次不等式的定义只含有一个未知数，且未知数的最高次数是____的不等式叫一元二次不等式．2．二次函数的图象、一元二次方程的根与一元二次不等式的解集之间的关系判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根

2、有两相异实根x1,2＝(x10的解集a>0{x

3、xx2}{x

4、x≠____}______a<0{x

5、x10的解集是R，q：－1f(1)的解集是(　　)A．(－3,1)∪(3，＋∞

6、)B．(－3,1)∪(2，＋∞)C．(－1,1)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(1,3)3．已知不等式x2－2x－3<0的解集为A，不等式x2＋x－6<0的解集是B，不等式x2＋ax＋b<0的解集是A∩B，那么a＋b等于(　　)A．－3B．1C．－1D．34．(2011·厦门月考)已知f(x)＝ax2－x－c>0的解集为(－3,2)，则y＝f(－x)的图象是(　　)5．当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围为________________.探究点一　一元二次不等式的解法例1　解下列

7、不等式：(1)－x2＋2x－>0；(2)9x2－6x＋1≥0.变式迁移1　解下列不等式：(1)2x2＋4x＋3<0；(2)－3x2－2x＋8≤0；(3)8x－1≥16x2.探究点二　含参数的一元二次不等式的解法例2　已知常数a∈R，解关于x的不等式ax2－2x＋a<0.变式迁移2　解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0.探究点三　一元二次不等式恒成立问题例3　(2011·巢湖月考)已知f(x)＝x2－2ax＋2(a∈R)，当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．变式迁移3　(1)关于x的不

8、等式<2对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围．(2)若不等式x2＋px>4x＋p－3对一切0≤p≤4均成立，试求实数x的取值范围．转化与化归思想的应用例　(12分)已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(α，β)，且0<α<β，求不等式cx2＋bx＋a<0的解集．【答题模板】解　由已知不等式的解集为(α，β)可得a<0，∵α，β为方程ax2＋bx＋c＝0的两根，∴由根与系数的关系可得[4分]∵a<0，∴由②得c<0，[5分]则cx2＋bx＋a<0可化为x2＋x＋>0.[6分]①÷②，得＝＝－<0，由②得＝＝·>0

9、，∴、为方程x2＋x＋＝0的两根．[10分]∵0<α<β，∴不等式cx2＋bx＋a<0的解集为{x

10、x<或x>}．[12分]【突破思维障碍】由ax2＋bx＋c>0的解集是一个开区间，结合不等式对应的函数图象知a<0，要求cx2＋bx＋a<0的解集首先需要判断二次项系数c的正负，由方程根与系数关系知＝α·β>0，因a<0，∴c<0，从而知道cx2＋bx＋a<0的解集是x大于大根及小于小根对应的两个集合．要想求出解集，需用已知量α，β代替参数c、b、a，需对不等式cx2＋bx＋a<0两边同除c或a，用α、β代替后，就不

11、难找到要求不等式对应方程的两根，从而求出不等式的解集．本题较好地体现了三个“二次”之间的相互转化．1．三个“二次”的关系：二次函数是主体，一元二次方程和一元二次不等式分别为二次函数的函数值为零和不为零的两种情况，一般讨论二次函数常将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式来研究，而讨论一元二次方程和一元二次不等式又常与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决．一元二次不等式解集的端点值就是相应的一元二次方程的根，也是相应的二次函数的图象与x轴交点的横坐标，即二次函数的零点．2．解含参数的一元二次不等式的步

12、骤：解含参数的一元二次不等式可按如下步骤进行：1°二次项若含有参数应讨论参数是等于0、小于0、还是大于0.然后将不等式转化为二次项系数为正的形式.2°判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系.3°确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集的形式．3．不等式恒成立问题：不等式恒成立，即不等式的解集为R，一元二次不等式ax