高三数学《圆的一般方程》教案

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1、浙江省衢州市仲尼中学高三数学《圆的一般方程》教案教材分析： 教学重点、难点重点：掌握圆的一般方程，以及用待定系数法求圆的一般方程。难点：二元二次方程与圆的一般方程的关系及求动点的轨迹方程教学过程：1、情境设置：问题提出　方程表示什么图形？方程表示什么图形？（采用由特殊到一般，由具体到抽象的认知方式）对给出的方程通过配方，化成圆的标准方程的形式，第一个方程为，它表示以(1，-2)为圆心，2为半径的圆；第二个方程为，由于不存在点的坐标满足这个方程，所以它不表示任何图形。2、探索研究：方程在什么条件下表示圆？配方得。(1)当时，方程表示以为圆心，为半径的圆；(2)当时，方程表示一

2、个点；(3)当时，方程不表示任何图形。关于的二元二次方程成为圆方程的充要条件是(1)和的系数相同且不等于0，即A=C0；(2)没有这样的二次项，即B=0；(3)。　　　对于圆的一般方程，要熟练地通过配方法，求出圆的圆心坐标和半径。　　　根据已知条件求圆的方程，仍然采用待定系数法，但要注意的是待定的方程是设标准方程还是设一般方程，这要根据已知条件而定。3、思考交流圆的标准方程和圆的一般方程各有什么特点？圆的标准方程指出了圆心坐标与半径大小，几何特征明显；圆的一般方程表明圆的方程是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显。圆的一般方程与圆的标准方程可以相互转化。例1：已知方程x2+

3、y2+2kx+4y+3k+8=0表示一个圆，求k的取值范围。分析：由二元二次方程成为圆方程的条件，得到关于k的不等式。解：方程x2+y2+2kx+4y+3k+8=0表示一个圆，　　∴，解得　　∴当时，方程x2+y2+2kx+4y+3k+8=0表示一个圆。总结：在圆的一般方程中，系数D、E、F必须满足。例2：求经过三点A（1，－1）、B（1,4）、C（4，－2）的圆的方程。解：设所求圆的方程为，　　A（1，－1）、B（1,4）、C（4，－2）三点在圆上，代入圆的方程并化简，得　　，解得D＝－7，E＝－3，F＝2　　∴所求圆的方程为。总结：待定系数法是求圆的方程最常见的方法，但

4、是在求圆的方程时是设标准方程还是设一般方程，要由已知条件确定。一般地，如果由已知条件易求得圆心坐标、半径或需要利用圆心坐标或半径列方程，常选用标准方程；如果已知条件与圆心坐标、半径无直接关系，常选用一般方程。例3、已知线段AB的端点B的坐标是（4，3），端点A在圆上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程。解析：如图点A运动引起点M运动，而点A在已知圆上运动，点A的坐标满足方程。建立点M与点A坐标之间的关系，就可以建立点M的坐标满足的条件，求出点M的轨迹方程。解：设点M的坐标是（x,y）,点A的坐标是①上运动，所以点A的坐标满足方程,即②把①代入②，得练习：1、若（2m2+m-1

5、）x2+(m2-m+2)y2+m+2=0的图形表示一个圆，则m的值是＿＿＿。2、已知ABC的顶点坐标分别是A(1,1)、B(3,1)、C(3,3)，求ABC外接圆的方程。3、过圆外一点Q向圆O：作割线，交圆于A、B两点，求弦AB中点M的轨迹。小结：1、“轨迹”与“轨迹方程”是不同的两个概念，前者是图形，要指出形状、位置、大小（范围）等特性；后者是方程（等式），不仅要给出方程，还要指出变量的取值范围。2、在探求点的轨迹时，可先用信息技术工具探究轨迹的形状，对问题有一个直观的了解，然后再从本质上分析轨迹形成的原因，找出解决问题的方法，制订合理的解题策略。　　课后作业（C组题）１

6、.圆上的点到直线的距离最大值是（）A.B.C.D.（B组题）2将直线，沿轴向左平移个单位，所得直线与圆相切，则实数的值为（　　）A.　B.　C.　D.（A组题）3.已知圆和轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长为，求圆的方程.板书设计圆的一般方程课内练习例题1、圆的一般方程为，圆心坐标，半径为。方程表示圆的充要条件是2、点与圆的位置关系：在圆内在圆上在圆外