八年级数学下册 17.2 一元二次方程的解法(第2课时)教学案 (新版)沪科版

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1、一元二次方程的解法1．一元二次方程的求根公式及推导(1)求根公式的定义一般地，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2－4ac≥0时，它的根是x＝.这个式子称为一元二次方程的求根公式．(2)求根公式的推导一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的过程．具体推导过程如下：由于a≠0，在方程两边同除以a，得x2＋x＋＝0.移项，得x2＋x＝－.方程两边同加上()2，得x2＋x＋()2＝－＋()2，即(x＋)2＝.由于4a2＞0，所以当b2－4ac≥0时，可得x＋＝±.所以x＝.(1)配方法是推导求根公式的基础．(2)由于4

2、a2＞0，所以只有当b2－4ac≥0时，式子才是非负常数，方程才能开方．(3)由此可见，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根是由方程的系数a，b，c确定的，只要确定了系数a，b，c的值，代入公式就可求得方程的根．【例1】方程3x2－8＝7x化为一般形式是________，其中a＝________，b＝________，c＝________，方程的根为________．解析：将方程移项可化为3x2－7x－8＝0.其中a＝3，b＝－7，c＝－8.因为b2－4ac＝49－4×3×(－8)＝145＞0，代入求根公式可得x＝.答案：3x2－7x－8＝0　3　－7　－8　2．公

3、式法解一元二次方程(1)定义：用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法．(2)公式法是解一元二次方程的一般方法，对于任何一元二次方程，只要有解，就一定能用求根公式解出来．(3)用公式法解一元二次方程的一般步骤：①将方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，确定a，b，c的值．②计算b2－4ac的值，从而确定原方程是否有实数根．③若b2－4ac≥0，则把a，b，c及b2－4ac的值代入求根公式，求出x1，x2；若b2－4ac＜0，则方程没有实数根．(1)此求根公式是指一元二次方程的求根公式，只有确认方程是一元二次方程时，方可使用．(2)“b2－4ac≥0”是一元二次方程求

4、根公式的重要组成部分，是公式成立的前提条件，当b2－4ac＜0时，方程没有实数根．(3)用公式法解一元二次方程时，一定先将方程化为一般形式，再确定a，b，c的值，并注意它们的符号．(4)当b2－4ac＝0时，应把方程的根写成x1＝x2＝－，从而说明一元二次方程有两个相等的实数根，而不是一个根．【例2】用公式法解下列方程：(1)2x(x＋)＋1＝0；(2)x2＋4x－1＝10＋8x.分析：用公式法解一元二次方程时，先将一元二次方程写成ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的形式，然后判断b2－4ac的值是大于等于0，还是小于0.若b2－4ac≥0，把a，b，c的值代入求根公式求解；若b

5、2－4ac＜0，则原方程没有实数根．解：(1)原方程可化为2x2＋2x＋1＝0.因为a＝2，b＝2，c＝1，所以b2－4ac＝(2)2－4×2×1＝0.所以x＝＝－.所以x1＝x2＝－.(2)将原方程化为一般形式，得x2－4x－11＝0.因为a＝1，b＝－4，c＝－11，所以b2－4ac＝(－4)2－4×1×(－11)＝16＋44＝60.所以x＝＝.所以x1＝2＋，x2＝2－.点拨：用公式法解一元二次方程时，必须满足b2－4ac≥0，才能将a，b及b2－4ac的值代入求根公式求解．当b2－4ac＜0时，原方程没有实数根．3．因式分解法(1)定义：通过因式分解，将一个一元二次方

6、程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫做因式分解法．(2)因式分解法的理论依据：若a·b＝0，则a＝0或b＝0.(3)用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①将方程的右边化为0；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．用因式分解法解一元二次方程的关键：一是要将方程右边化为0；二是方程左边要能分解为两个含未知数的一次因式的积．【例3】解下列方程：(1)x－3＝x(x－3)；(2)(x－2)2＝(2x＋3)2；(3)x2－2x＝－3.分析：⑴移项右边为0左边能提取公因式(x－3)⑵移项左边

7、能用平方差公式进行分解⑶移项左边正好是一个完全平方式解：(1)原方程可化为(x－3)－x(x－3)＝0.∴(x－3)(1－x)＝0.∴x－3＝0，或1－x＝0.∴x1＝3，x2＝1.(2)原方程可化为(x－2)2－(2x＋3)2＝0.∴[(x－2)＋(2x＋3)][(x－2)－(2x＋3)]＝0，即(3x＋1)(－x－5)＝0.∴3x＋1＝0，或－x－5＝0.∴x1＝－，x2＝－5.(3)原方程可化为x2－2x＋3＝0，即x2－2x＋()2＝0.∴(x－)2＝0.∴x1＝x2＝.4．因式分解法的两种类型