八年级数学下册 17.2 一元二次方程的解法(第2课时)教学案 (新版)沪科版

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1、一元二次方程的解法1.一元二次方程的求根公式及推导(1)求根公式的定义一般地,对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当b2-4ac≥0时,它的根是x=.这个式子称为一元二次方程的求根公式.(2)求根公式的推导一元二次方程求根公式的推导过程,就是用配方法解一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)的过程.具体推导过程如下:由于a≠0,在方程两边同除以a,得x2+x+=0.移项,得x2+x=-.方程两边同加上()2,得x2+x+()2=-+()2,即(x+)2=.由于4a2>0,所以当b2-4ac≥0时,可得x+=±.所以x=.(1)配方法是推导求根公式的基础.(2)由于4

2、a2>0,所以只有当b2-4ac≥0时,式子才是非负常数,方程才能开方.(3)由此可见,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根是由方程的系数a,b,c确定的,只要确定了系数a,b,c的值,代入公式就可求得方程的根.【例1】方程3x2-8=7x化为一般形式是________,其中a=________,b=________,c=________,方程的根为________.解析:将方程移项可化为3x2-7x-8=0.其中a=3,b=-7,c=-8.因为b2-4ac=49-4×3×(-8)=145>0,代入求根公式可得x=.答案:3x2-7x-8=0 3 -7 -8 2.公

3、式法解一元二次方程(1)定义:用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法.(2)公式法是解一元二次方程的一般方法,对于任何一元二次方程,只要有解,就一定能用求根公式解出来.(3)用公式法解一元二次方程的一般步骤:①将方程化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),确定a,b,c的值.②计算b2-4ac的值,从而确定原方程是否有实数根.③若b2-4ac≥0,则把a,b,c及b2-4ac的值代入求根公式,求出x1,x2;若b2-4ac<0,则方程没有实数根.(1)此求根公式是指一元二次方程的求根公式,只有确认方程是一元二次方程时,方可使用.(2)“b2-4ac≥0”是一元二次方程求

4、根公式的重要组成部分,是公式成立的前提条件,当b2-4ac<0时,方程没有实数根.(3)用公式法解一元二次方程时,一定先将方程化为一般形式,再确定a,b,c的值,并注意它们的符号.(4)当b2-4ac=0时,应把方程的根写成x1=x2=-,从而说明一元二次方程有两个相等的实数根,而不是一个根.【例2】用公式法解下列方程:(1)2x(x+)+1=0;(2)x2+4x-1=10+8x.分析:用公式法解一元二次方程时,先将一元二次方程写成ax2+bx+c=0(a≠0)的形式,然后判断b2-4ac的值是大于等于0,还是小于0.若b2-4ac≥0,把a,b,c的值代入求根公式求解;若b

5、2-4ac<0,则原方程没有实数根.解:(1)原方程可化为2x2+2x+1=0.因为a=2,b=2,c=1,所以b2-4ac=(2)2-4×2×1=0.所以x==-.所以x1=x2=-.(2)将原方程化为一般形式,得x2-4x-11=0.因为a=1,b=-4,c=-11,所以b2-4ac=(-4)2-4×1×(-11)=16+44=60.所以x==.所以x1=2+,x2=2-.点拨:用公式法解一元二次方程时,必须满足b2-4ac≥0,才能将a,b及b2-4ac的值代入求根公式求解.当b2-4ac<0时,原方程没有实数根.3.因式分解法(1)定义:通过因式分解,将一个一元二次方

6、程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫做因式分解法.(2)因式分解法的理论依据:若a·b=0,则a=0或b=0.(3)用因式分解法解一元二次方程的一般步骤:①将方程的右边化为0;②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积;③令每个因式分别为零,得到两个一元一次方程;④解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解.用因式分解法解一元二次方程的关键:一是要将方程右边化为0;二是方程左边要能分解为两个含未知数的一次因式的积.【例3】解下列方程:(1)x-3=x(x-3);(2)(x-2)2=(2x+3)2;(3)x2-2x=-3.分析:⑴移项右边为0左边能提取公因式(x-3)⑵移项左边

7、能用平方差公式进行分解⑶移项左边正好是一个完全平方式解:(1)原方程可化为(x-3)-x(x-3)=0.∴(x-3)(1-x)=0.∴x-3=0,或1-x=0.∴x1=3,x2=1.(2)原方程可化为(x-2)2-(2x+3)2=0.∴[(x-2)+(2x+3)][(x-2)-(2x+3)]=0,即(3x+1)(-x-5)=0.∴3x+1=0,或-x-5=0.∴x1=-,x2=-5.(3)原方程可化为x2-2x+3=0,即x2-2x+()2=0.∴(x-)2=0.∴x1=x2=.4.因式分解法的两种类型

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