弹簧质量阻尼系统设计模型

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1、自动控制原理综合训练项目题目：关于MSD系统控制的设计资料目录1设计任务及要求分析31.1初始条件31.2要求完成的任务31.3任务分析42系统分析及传递函数求解42.1系统受力分析42.2传递函数求解92.3系统开环传递函数的求解93.用MATLAB对系统作开环频域分析103.1开环系统波特图103.2开环系统奈奎斯特图及稳定性判断124.系统开环频率特性各项指标的计算14总结17参考文献18资料弹簧-质量-阻尼器系统建模与频率特性分析1设计任务及要求分析1.1初始条件已知机械系统如图。ypmx图1.1机械系统图1.2要求完成的任务（1）推导传递函数，，（2）

2、给定，以p为输入资料（1）用Matlab画出开环系统的波特图和奈奎斯特图，并用奈奎斯特判据分析系统的稳定性。（2）求出开环系统的截止频率、相角裕度和幅值裕度。（3）对上述任务写出完整的课程设计说明书，说明书中必须进行原理分析，写清楚分析计算的过程及其比较分析的结果，并包含Matlab源程序或Simulink仿真模型，说明书的格式按照教务处标准书写。1.3任务分析由初始条件和要求完成的主要任务，首先对给出的机械系统进行受力分析，列出相关的微分方程，对微分方程做拉普拉斯变换，将初始条件中给定的数据代入，即可得出，两个传递函数。由于本系统是一个单位负反馈系统，故求出的

3、传递函数即为开环传函。后在MATLAB中画出开环波特图和奈奎斯特图，由波特图分析系统的频率特性，并根据奈奎斯特判据判断闭环系统位于右半平面的极点数，由此可以分析出系统的稳定性。最后再计算出系统的截止频率、相角裕度和幅值裕度，并进一步分析其稳定性能。2系统分析及传递函数求解2.1系统受力分析单自由度有阻尼振系的力学模型如图2-1所示，包括弹簧、质量及阻尼器。以物体的平衡位置0为原点，建立图示坐标轴x。则物体运动微分方程为（2-1）式中：为阻尼力，负号表示阻尼力方向与速度方向相反。图2-1将上式写成标准形式，为(2-2）资料令p2=,,则上式可简化为(2-3)这就是

4、有阻尼自由振动微分方程。它的解可取，其中s是待定常数。代入（2-1）式得，要使所有时间内上式都能满足，必须，此即微分方程的特征方程，其解为（2-4）于是微分方程（2-1）的通解为（2-5）式中待定常数c1与c2决定与振动的初始条件。振动系统的性质决定于根式是实数、零、还是虚数。对应的根s1与s2可以是不相等的负实根、相等的负实根或复根。若s1与s2为等根时，此时的阻尼系数值称之为临界阻尼系数，记为cc，即cc＝2mp。引进一个无量纲的量，称为相对阻尼系数或阻尼比。（2-6）当n>p或>1,根式是实数，称为过阻尼状态，当n

5、n＝p，即＝1，称为临界阻尼状态。现分别讨论三种状态下的运动特性。1.过阻尼状态此时>1，即c2,c1<0时的情况。图2-22.临界阻尼状态此时＝1，（b）式中s1＝s2＝－n＝－p，特征方程的根是重根，方程（2-1）的另一解将为te－pt，故微分方程（2-1）的通解为资料x＝（c1＋c2t）e－pt（2-7）式中等号右边第一项c1e－pt是一根下降的指数曲线，第二项则可应用麦克劳林级数展开成以下形式：（2-8）从上

6、式看出，当时间t增长时，第二项c2te－pt也趋近于零。因此（c）式表示的运动也不是振动，也是一个逐渐回到平衡位置的非周期运动。3.弱阻尼状态此时p>n,或<1。利用欧拉公式（2-9）可将（2-2）式改写为（2-10）或（1-11）令，则（2-12）式中A与为待定常数，决定于初始条件。设t＝0时，x＝x0，，则可求得（2-13）将A与代入（2-4）式，即可求得系统对初始条件的响应，由式（2-13）可知，系统振动已不再是等幅的简谐振动，而是振幅被限制在曲线之内随时间不断衰减的衰减振动。如图3-3所示。资料图2-3这种衰减振动的固有圆频率、固有频率和周期分别为（2-

7、14）（2-15）式中P、f、T是无阻尼自由振动的固有圆频率、固有频率和周期。由上可见，阻尼对自由振动的影响有两个方面：一方面是阻尼使自由振动的周期增大、频率减小，但在一般工程问题中n都比P小得多，属于小阻尼的情况。例=n/p=0.05时，fd=0.9990f，Td=1.00125T；而在=0.20时，fd=0.98f，Td=1.02T，所以在阻尼比较小时，阻尼对系统的固有频率和周期的影响可以略去不计，即可以近似地认为有阻尼自由振动的频率和周期与无阻尼自由振动的频率和周期相等。另一方面，阻尼对于系统振动振幅的影响非常显著，阻尼使振幅随着时间不断衰减，其顺次各个振

8、幅是：t=t1时，A1=