2016_2017学年高中数学第三章圆锥曲线与方程3.2.2拋物线的简单性质课后演练提升北师大版

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1、2016-2017学年高中数学第三章圆锥曲线与方程3.2.2拋物线的简单性质课后演练提升北师大版选修2-1一、选择题(每小题5分，共20分)1．过拋物线y2＝4x的焦点作直线交拋物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝8，那么

2、AB

3、等于(　　)A．9　　　　　　　　　　　　B．10C．7D．5解析：　由拋物线方程知：p＝2，又

4、AB

5、＝x1＋x2＋p＝8＋2＝10，故选B.答案：　B2．拋物线x2＝－4y的通径为线段AB，O为拋物线的顶点，则(　　)A．通径长为8，△AOB的面积为4B．通径长为8，

6、△AOB的面积为2C．通径长为4，△AOB的面积为4D．通径长为4，△AOB的面积为2解析：　

7、AB

8、＝2p＝4，S△AOB＝×1×4＝2.答案：　D3．若拋物线y2＝2px(p＞0)上一点到准线和拋物线的对称轴距离分别为10和6，则该点横坐标为(　　)A．6B．2或8C．1或9D．10解析：　设点坐标为(x0,6)，则62＝2px0，∴x0＝，又x0＋＝10，∴＋＝10，∴p＝2或p＝18，∴x0＝9或x0＝1，故选C.答案：　C4．以抛物线y2＝2px(p>0)的焦半径为直径的圆与y轴的位置关系是(　　)A．相交B．

9、相离C．相切D．不确定解析：　如图，取AF中点C，作CN⊥y轴，AM⊥y轴，可得

10、CN

11、＝

12、AF

13、.故选C.答案：　C二、填空题(每小题5分，共10分)5．抛物线y2＝16x上一点P到x轴的距离为12，则点P与焦点F间的距离

14、PF

15、＝________.解析：　由于点P到x轴的距离为12，可知点P的纵坐标为12，∴点P的横坐标x＝＝＝9.由抛物线的定义知

16、PF

17、＝x＋＝9＋4＝13.答案：　136．过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p＝________.

18、解析：　设A、B两点的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则x1＋x2＋p＝8.设直线AB的方程为y＝x－，联立y2＝2px，得x2－3px＋＝0，∴x1＋x2＝3p.∴3p＋p＝8，即p＝2.答案：　2三、解答题(每小题10分，共20分)7．正三角形AOB的两个顶点在抛物线y2＝2px(p＞0)上．若S△OAB＝36，试确定抛物线的方程．解析：　由于正△AOB的A、B两点在抛物线y2＝2px上，依对称性知∠AOX＝30°，其中X为线段AB与x轴的交点．设OA所在直线方程为y＝x.方法一：联立得A(6p,2p)，B

19、(6p，－2p)．则

20、AB

21、＝4p.由S△AOB＝×(4p)2＝12p2＝36，得p2＝3，p＝.故抛物线的方程为y2＝2x.方法二：设

22、OA

23、＝a，由S△AOB＝a2＝36知a＝12.即

24、OA

25、＝＝＝12，得x＝±6，y＝×(±6)＝±6.由于A(x，y)在抛物线y2＝2px(p＞0)上，所以A(6，6)．由点A(6，6)在y2＝2px上得p＝.故抛物线的方程为y2＝2x.8.已知直线l经过拋物线y2＝4x的焦点F，且与拋物线相交于A、B两点．(1)若

26、AF

27、＝4，求点A的坐标；(2)求线段AB的长的最小值．解析：　拋

28、物线y2＝4x的焦点F(1,0)，准线为x＝－1.(1)设A(x0，y0)，则

29、AF

30、＝

31、x0＋1

32、＝4，∴x0＝3，∴y0＝±2，∴A(3，±2)．(2)当直线l的斜率不存在时，

33、AB

34、＝4，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)，由，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，易知k≠0，令A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝.∴

35、AB

36、＝x1＋x2＋2＝4＋＞4，综上所述，

37、AB

38、≥4.∴线段AB的最小值为4.☆☆☆9．(10分)A、B是抛物线y2＝2px(p>0)上的两点，满足OA⊥

39、OB(O为坐标原点)，求证：(1)A、B两点横坐标之积，纵坐标之积分别为定值；(2)直线AB经过一个定点．证明：　(1)设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则y＝2px1，y＝2px2.∵OA⊥OB，∴x1·x2＋y1·y2＝0.∴y·y＝4p2x1·x2＝4p2(－y1·y2)，∴y1·y2＝－4p2.∴x1·x2＝4p2，结论成立．(2)∵y－y＝(y1－y2)(y1＋y2)＝2p(x1－x2)，∴＝.则直线AB的方程为y－y1＝(x－x1)．∴y＝·x－·＋y1＝·x＋.又∵y1·y2＝－4p2.∴y＝·x－＝(

40、x－2p)．∴直线AB过定点(2p,0)．