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《2018版高中数学第二章平面解析几何初步2.1.2平面直角坐标系中的基本公式学案含解析新人教b版必修2》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式1.掌握平面上两点间的距离公式和中点坐标公式.(重点)2.了解两点的距离公式及中点公式的推导方法.(难点)3.体会坐标法在几何中的作用.(重点)4.坐标法在证明几何问题中的应用.(难点)[基础·初探]教材整理 两点间距离公式及中点公式阅读教材P68~P71“例4”以上内容,完成下列问题.1.已知在平面直角坐标系中两点A(x1,y1),B(x2,y2),则有d(A,B)=
2、AB
3、=.2.已知平面直角坐标系中的两点A(x1,y1),B(x2,y2),设点M(x,y)是线段AB的中点,则有x=,y=.1.如
4、图212,由A(-4,-2),B(4,-2),C(4,4),是否能求出d(A,C)?图212【答案】 能,d(A,C)==10.2.(1)如图213,若A(-1,1),C(3,1)连线的中点为M1(x,y),则x,y满足什么条件?图213【答案】 x-(-1)=3-x,y=1.(2)若B(3,4),那么BC的中点M2的坐标是什么?【答案】 .[小组合作型]两点的距离公式的应用 已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(-a,0),B(a,0),C(0,a).求证:△ABC是等边三角形.【精彩点拨】 解答本题可以尝试利用两点的距离公式求出三边长,
5、再用三角形知识解决.【自主解答】 由两点的距离公式得
6、AB
7、==2
8、a
9、,
10、BC
11、==2
12、a
13、,
14、CA
15、==2
16、a
17、.∴
18、AB
19、=
20、BC
21、=
22、CA
23、,故△ABC是等边三角形.根据边长判断三角形形状的结论主要有以下几种:等腰、等边、直角、等腰直角三角形等.在进行判断时,一定要得出最终结果,比如一个三角形是等腰直角三角形,若我们只通过两边长相等判定它是等腰三角形则是不正确的.[再练一题]1.本例若改为:已知A(-1,-1),B(3,5),C(5,3),试判断△ABC的形状.【解】 d(A,B)====2,d(A,C)====2,d(B,C)=
24、===2.所以
25、AB
26、=
27、AC
28、≠
29、BC
30、,且显然三边长不满足勾股定理,所以△ABC为等腰三角形.中点公式的应用 已知平行四边形ABCD的两个顶点坐标分别为A(4,2),B(5,7),对角线交点为E(-3,4),求另外两顶点C、D的坐标.【导学号:45722072】【精彩点拨】 可以画图分析点的关系,借助平行四边形的性质,尝试运用中点公式列方程组求解.【自主解答】 设C点坐标为(x1,y1),则由E为AC的中点得:得设D点坐标为(x2,y2),则由E为BD的中点得得故C点坐标为(-10,6),D点坐标为(-11,1).1.本题是用平行四边
31、形对角线互相平分这一性质,依据中点公式列方程组求点的坐标的.2.中点公式常用于求与线段中点、三角形的中线、平行四边形的对角线等有关的问题,解题时一般先根据几何概念,提炼出点之间的“中点关系”,然后用中点公式列方程或方程组求解.[再练一题]2.已知平行四边形ABCD的三个顶点坐标分别为A(0,0),B(2,0),D(1,3),求顶点C的坐标.【解】 ∵平行四边形的对角线互相平分,∴平行四边形对角线的中点坐标相同.设C点坐标为C(x,y),则∴即C(3,3).[探究共研型]坐标法的应用探究1 如何建立平面直角坐标系?【提示】 (1)要使尽可能
32、多的已知点、直线落在坐标轴上;(2)如果图形中有互相垂直的两条直线,则考虑其作为坐标轴;(3)考虑图形的对称性:可将图形的对称中心作为原点、将图形的对称轴作为坐标轴.探究2 建立不同的直角坐标系,影响最终的结果吗?【提示】 不影响. 在△ABC中,D为BC边上任意一点(D与B、C不重合),且AB2=AD2+BD·DC.求证:△ABC为等腰三角形.【精彩点拨】 →→→→→【自主解答】 如图所示,作AO⊥BC,垂足为O,以BC所在直线为x轴,OA所在直线为y轴,建立平面直角坐标系.设A(0,a),B(b,0),C(c,0),D(d,0)(b<
33、d34、AB
35、2=
36、AD
37、2+BD·DC,∴b2+a2=d2+a2+(d-b)(c-d),∴-(d-b)(b+d)=(d-b)(c-d),又∵d-b≠0,∴-b-d=c-d,即-b=c.∴
38、AB
39、=
40、AC
41、,故△ABC为等腰三角形.1.对于平面几何中证明边相等(或不等)、求最值等类型的题目,可以建立恰当的平面直角坐标系,用坐标法将几何问题代数化,使复杂的逻辑思维转化为简单的代数运算,从而将复杂问题简单化.2.在建立平面直角坐标系时,要尽可能地将平面几何图形中的点、线放在坐标轴上,但不能把任意点作为特殊点.[再练一题]3.已知△ABC
42、是直角三角形,斜边BC的中点为M,建立适当的直角坐标系,证明:
43、AM
44、=
45、BC
46、.【证明】 如图所示,以Rt△ABC的直角边AB,AC所在直线为坐标轴,建立直角坐标系.设B,C两点的坐标分别为