2018版高中数学第一章常用逻辑用语1.3.1量词学案苏教版选修1

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1、1．3.1　量　词学习目标　1.理解全称量词与存在量词的含义.2.理解并掌握全称命题和存在性命题的概念.3.能判定全称命题和存在性命题的真假并掌握其判断方法．知识点一　全称量词与全称命题思考　观察下列命题：①每一个三角形都有内切圆；②所有实数都有算术平方根；③对一切有理数x,5x＋2还是有理数．以上三个命题中分别使用了什么量词？根据命题的实际含义能否判断命题的真假．　　　梳理　(1)全称量词“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”符号全称命题p含有________的命题形式“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符

2、号简记为________(2)判断全称命题真假性的方法：对于全称命题“∀x∈M，p(x)”，要判断它为真，需要对集合M中的每个元素x，证明p(x)成立；要判断它为假，只需在M中找到一个x，使p(x)不成立，即“∃x∈M，p(x)不成立”．知识点二　存在量词与存在性命题思考　观察下列命题：①有些矩形是正方形；②存在实数x，使x>5；③至少有一个实数x，使x2－2x＋2<0.以上三个命题分别使用了什么量词？根据命题的实际含义能否判断命题的真假．　　　梳理　(1)存在量词“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”符号存在性命题含有______

3、__的命题形式“存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为________(2)判断存在性命题真假性的方法：要判断一个存在性命题是真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则，这一存在性命题是假命题．类型一　全称命题与存在性命题的识别例1　判断下列语句是全称命题，还是存在性命题：(1)凸多边形的外角和等于360°；(2)有些实数a，b能使

4、a－b

5、＝

6、a

7、＋

8、b

9、；　　(3)对任意a，b∈R，若a>b，则<；(4)有一个函数既是奇函数又是偶函数．　　　　反思与感悟　判断一个语句是全称命题还是存在性命题的思

10、路跟踪训练1　判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并用符号“∀”或“∃”表示下列命题：(1)自然数的平方大于或等于零；(2)对每一个无理数x，x2也是无理数；(3)有的函数既是奇函数又是增函数；(4)对于数列，总存在正整数n，使得an与1之差的绝对值小于0.01.　　　类型二　全称命题与存在性命题的真假判断例2　判断下列命题的真假，并给出证明：(1)∀x∈(5，＋∞)，f(x)＝x2－4x－2>0；(2)∀x∈(3，＋∞)，f(x)＝x2－4x－2>0；(3)∃a∈Z，a2＝3a－2；(4)∃a≥3，a2＝3a－2；(5)设A、B、C是平面上

11、不在同一直线上的三点，在平面上存在某个点P，使得PA＝PB＝PC.　　　　　反思与感悟　要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定存在性命题是假命题，却只要能举出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．跟踪训练2　有下列四个命题：①∀x∈R,2x2－3x＋4>0；②∀x∈{1，－1,0},2x＋1>0；③∃x∈N，x2≤x；④∃x∈N*，x为29的约数，其中真命题的个数为________．类型三　全称命题、存在性命题的应用例3　(1)若命题p：存在x∈R，使

12、ax2＋2x＋a<0，求实数a的取值范围；(2)若不等式(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围．　　　反思与感悟　有解和恒成立问题是存在性命题和全称命题的应用，注意二者的区别．跟踪训练3　当命题(1)∀x∈R，sinx＋cosx>m；(2)∃x∈R，sinx＋cosx>m分别为真命题时，m的取值范围分别是(1)______________，(2)______________．1．下列命题是“∃x∈R，x2>3”的表述方法的有________．①有一个x∈R，使得x2>3；②对有些x∈R，使得x2>3

13、；③任选一个x∈R，使得x2>3；④至少有一个x∈R，使得x2>3.2．下列命题中全称命题的个数是________．①任意一个自然数都是正整数；②有的等差数列也是等比数列；③三角形的内角和是180°.3．下列存在性命题是假命题的是________．①存在x∈Q，使2x－x3＝0；②存在x∈R，使x2＋x＋1＝0；③有的素数是偶数；④有的有理数没有倒数．4．对任意的x>3，x>a都成立，则a的取值范围是________．5．用量词符号“∀”“∃”表述下列命题：(1)凸n边形的外角和等于2π.(2)有一个有理数x满足x2＝3.　　　　1．判断命题是

14、全称命题还是存在性命题，主要是看命题中是否含有全称量词或存在量词，有些全称命题虽然不含全称量词，可以根据命题涉及的意义去判断．2．要确定一个全称命题是