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《2018版高中数学 第1章 常用逻辑用语 1.3.1 量词学案 苏教版选修2-1》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、1.3.1 量 词[学习目标] 1.通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义,熟悉常见的全称量词和存在量词.2.了解含有量词的全称命题和存在性命题的含义,并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性.知识点一 全称量词和全称命题(1)全称量词:“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词,并用符号“∀”表示.(2)全称命题:含有全称量词的命题称为全称命题.全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M,p(x),读作“对任意x属于M,有p(x)
2、成立”.知识点二 存在量词和存在性命题(1)存在量词:“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词,并用符号“∃”表示.(2)存在性命题:含有存在量词的命题称为存在性命题.存在性命题“存在M中的元素x,使p(x)成立”可用符号简记为∃x∈M,p(x),读作“存在M中的元素x,使p(x)成立”.思考 (1)在全称命题和存在性命题中,量词是否可以省略?(2)全称命题中的“x,M与p(x)”表达的含义分别是什么?答案 (1)在存在性命题中,量词不可以省略;在有些全称命题中,量词可以省略.
3、(2)元素x可以表示实数、方程、函数、不等式,也可以表示几何图形,相应的集合M是这些元素的某一特定的范围.p(x)表示集合M的所有元素满足的性质.如“任意一个自然数都不小于0”,可以表示为“∀x∈N,x≥0”.题型一 全称量词与全称命题例1 试判断下列全称命题的真假:(1)∀x∈R,x2+2>0;(2)∀x∈N,x4≥1;(3)对任意角α,都有sin2α+cos2α=1.解 (1)由于∀x∈R,都有x2≥0,因而有x2+2≥2>0,即x2+2>0,所以命题“∀x∈R,x2+2>0”是真命题.(2)由于0∈N
4、,当x=0时,x4≥1不成立,所以命题“∀x∈N,x4≥1”是假命题.(3)由于∀α∈R,sin2α+cos2α=1成立.所以命题“对任意角α,都有sin2α+cos2α=1”是真命题.反思与感悟 判断全称命题为真时,要看命题是否对给定集合中的所有元素成立.判断全称命题为假时,可以用反例进行否定.跟踪训练1 试判断下列全称命题的真假:(1)∀x∈R,x2+1≥2;(2)任何一条直线都有斜率;(3)每个指数函数都是单调函数.解 (1)由于∀x∈R,都有x2≥0,因而有x2+1≥1,所以“∀x∈R,x2+1≥2
5、”是假命题.(2)当直线的倾斜角为时,斜率不存在,所以“任何一条直线都有斜率”是假命题.(3)无论底数a>1或是06、义.(4)∵当x∈R时,cosx∈[-1,1],而>1,∴不存在x∈R,使cosx=,∴“∃x∈R,cosx=”是假命题.反思与感悟 判定存在性命题真假的方法:代入法:在给定的集合中找到一个元素x,使命题p(x)为真,否则命题为假.跟踪训练2 试判断下列存在性命题的真假:(1)∃x∈Q,x2=3;(2)∃x,y为正实数,使x2+y2=0;(3)∃x∈R,tanx=1;(4)∃x∈R,lgx=0.解 (1)由于使x2=3成立的数只有±,而它们都不是有理数,因此没有任何一个有理数的平方能等于3,所以命题“∃x∈7、Q,x2=3”为假命题.(2)因为x>0,y>0,所以x2+y2>0,所以“∃x,y为正实数,使x2+y2=0”为假命题.(3)当x=时,tan=1,所以“∃x∈R,tanx=1”为真命题.(4)当x=1时,lg1=0,所以“∃x∈R,lgx=0”为真命题.题型三 全称命题、存在性命题的应用例3 (1)若命题p:存在x∈R,使ax2+2x+a<0,求实数a的取值范围;(2)若不等式(m+1)x2-(m-1)x+3(m-1)<0对任意实数x恒成立,求实数m的取值范围.解 (1)由ax2+2x+a<0,得a(x8、2+1)<-2x,∵x2+1>0,∴a<-=-,当x>0时,x+≥2,∴-≥-1,当x<0时,x+≤-2,∴-≤1,∴-的最大值为1.又∵∃x∈R,使ax2+2x+a<0成立,∴只要a<1,∴a的取值范围是(-∞,1).(2)①当m+1=0即m=-1时,2x-6<0不恒成立.②当m+1≠0,则⇒⇒综上,m<-.反思与感悟 有解和恒成立问题是存在性命题和全称命题的应用,注意二者的区别.跟踪训练3 (1)已知关于x的
6、义.(4)∵当x∈R时,cosx∈[-1,1],而>1,∴不存在x∈R,使cosx=,∴“∃x∈R,cosx=”是假命题.反思与感悟 判定存在性命题真假的方法:代入法:在给定的集合中找到一个元素x,使命题p(x)为真,否则命题为假.跟踪训练2 试判断下列存在性命题的真假:(1)∃x∈Q,x2=3;(2)∃x,y为正实数,使x2+y2=0;(3)∃x∈R,tanx=1;(4)∃x∈R,lgx=0.解 (1)由于使x2=3成立的数只有±,而它们都不是有理数,因此没有任何一个有理数的平方能等于3,所以命题“∃x∈
7、Q,x2=3”为假命题.(2)因为x>0,y>0,所以x2+y2>0,所以“∃x,y为正实数,使x2+y2=0”为假命题.(3)当x=时,tan=1,所以“∃x∈R,tanx=1”为真命题.(4)当x=1时,lg1=0,所以“∃x∈R,lgx=0”为真命题.题型三 全称命题、存在性命题的应用例3 (1)若命题p:存在x∈R,使ax2+2x+a<0,求实数a的取值范围;(2)若不等式(m+1)x2-(m-1)x+3(m-1)<0对任意实数x恒成立,求实数m的取值范围.解 (1)由ax2+2x+a<0,得a(x
8、2+1)<-2x,∵x2+1>0,∴a<-=-,当x>0时,x+≥2,∴-≥-1,当x<0时,x+≤-2,∴-≤1,∴-的最大值为1.又∵∃x∈R,使ax2+2x+a<0成立,∴只要a<1,∴a的取值范围是(-∞,1).(2)①当m+1=0即m=-1时,2x-6<0不恒成立.②当m+1≠0,则⇒⇒综上,m<-.反思与感悟 有解和恒成立问题是存在性命题和全称命题的应用,注意二者的区别.跟踪训练3 (1)已知关于x的
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