2018版高中数学 第1章 常用逻辑用语 1.3.1 量词学案 苏教版选修2-1

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1、1．3.1　量　词[学习目标]　1.通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词.2.了解含有量词的全称命题和存在性命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性．知识点一　全称量词和全称命题(1)全称量词：“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，并用符号“∀”表示．(2)全称命题：含有全称量词的命题称为全称命题．全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)

2、成立”．知识点二　存在量词和存在性命题(1)存在量词：“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，并用符号“∃”表示．(2)存在性命题：含有存在量词的命题称为存在性命题．存在性命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”可用符号简记为∃x∈M，p(x)，读作“存在M中的元素x，使p(x)成立”．思考　(1)在全称命题和存在性命题中，量词是否可以省略？(2)全称命题中的“x，M与p(x)”表达的含义分别是什么？答案　(1)在存在性命题中，量词不可以省略；在有些全称命题中，量词可以省略．

3、(2)元素x可以表示实数、方程、函数、不等式，也可以表示几何图形，相应的集合M是这些元素的某一特定的范围．p(x)表示集合M的所有元素满足的性质．如“任意一个自然数都不小于0”，可以表示为“∀x∈N，x≥0”．题型一　全称量词与全称命题例1　试判断下列全称命题的真假：(1)∀x∈R，x2＋2>0；(2)∀x∈N，x4≥1；(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.解　(1)由于∀x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2>0，即x2＋2>0，所以命题“∀x∈R，x2＋2>0”是真命题．(2)由于0∈N

4、，当x＝0时，x4≥1不成立，所以命题“∀x∈N，x4≥1”是假命题．(3)由于∀α∈R，sin2α＋cos2α＝1成立．所以命题“对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1”是真命题．反思与感悟　判断全称命题为真时，要看命题是否对给定集合中的所有元素成立．判断全称命题为假时，可以用反例进行否定．跟踪训练1　试判断下列全称命题的真假：(1)∀x∈R，x2＋1≥2；(2)任何一条直线都有斜率；(3)每个指数函数都是单调函数．解　(1)由于∀x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋1≥1，所以“∀x∈R，x2＋1≥2

5、”是假命题．(2)当直线的倾斜角为时，斜率不存在，所以“任何一条直线都有斜率”是假命题．(3)无论底数a＞1或是0

6、义.(4)∵当x∈R时，cosx∈[－1,1]，而>1，∴不存在x∈R，使cosx＝，∴“∃x∈R，cosx＝”是假命题．反思与感悟　判定存在性命题真假的方法：代入法：在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为真，否则命题为假．跟踪训练2　试判断下列存在性命题的真假：(1)∃x∈Q，x2＝3；(2)∃x，y为正实数，使x2＋y2＝0；(3)∃x∈R，tanx＝1；(4)∃x∈R，lgx＝0.解　(1)由于使x2＝3成立的数只有±，而它们都不是有理数，因此没有任何一个有理数的平方能等于3，所以命题“∃x∈

7、Q，x2＝3”为假命题．(2)因为x>0，y>0，所以x2＋y2>0，所以“∃x，y为正实数，使x2＋y2＝0”为假命题．(3)当x＝时，tan＝1，所以“∃x∈R，tanx＝1”为真命题．(4)当x＝1时，lg1＝0，所以“∃x∈R，lgx＝0”为真命题．题型三　全称命题、存在性命题的应用例3　(1)若命题p：存在x∈R，使ax2＋2x＋a<0，求实数a的取值范围；(2)若不等式(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围．解　(1)由ax2＋2x＋a<0，得a(x

8、2＋1)<－2x，∵x2＋1>0，∴a<－＝－，当x>0时，x＋≥2，∴－≥－1，当x<0时，x＋≤－2，∴－≤1，∴－的最大值为1.又∵∃x∈R，使ax2＋2x＋a<0成立，∴只要a<1，∴a的取值范围是(－∞，1)．(2)①当m＋1＝0即m＝－1时，2x－6<0不恒成立．②当m＋1≠0，则⇒⇒综上，m<－.反思与感悟　有解和恒成立问题是存在性命题和全称命题的应用，注意二者的区别．跟踪训练3　(1)已知关于x的