[2012高考复习]2012年高考数学压轴题19套

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1、数学压轴题集1.已知函数，设（1）求的单调区间；（2）若以）图像上任意一点为切点的切线的斜率恒成立，求实数的最小值；（3）若对所有的都有成立，求实数的取值范围.解：（1）.………2分因为由，所以在上单调递增；由，所以在上单调递减.………………………………………………………………5分（2）恒成立，………7分即当时取得最大值。所以，，所以.……10分（3）因为，所以，令，则.………………………………………………………………12分因为当时，，所以，所以，所以，所以.………………………16分2.已知数列中,,为实常数）,前项

2、和恒为正值，且当时,.（1）求证:数列是等比数列；（2）设与的等差中项为,比较与的大小；（3）设是给定的正整数，.现按如下方法构造项数为有穷数列：当时，；当时，.求数列的前项和为.解：（1）当时,,化简得,又由,得,16解得,∴，也满足,而恒为正值,∴数列是等比数列.分（2）的首项为1，公比为，.当时,,∴.当时,,此时.…6分当时,.∵恒为正值∴且,若,则,若,则.综上可得,当时,；当时，若，则，若,则.分（3）∵∴,当时,.若,则由题设得.分若,则.综上得.分3.A是定义在上且满足如下两个条件的函数组成的集合：①

3、对任意的，都有；②存在常数L，使得对任意的，都有（1）设，证明：；（2）设，如果存在，使得，那么，这样的是唯一的；16（3）设，任取令证明：给定正整数，对任意的正整数，不等式成立.证明：（1）对任意于是，…………2分又，所以。对任意由于，所以，……………………4分令，则，所以.……………………7分（2）反证法：设存在，使得，则由，得，所以,与题设矛盾，故结论成立.10分（3）所以进一步可得，于是.……………………………16分4．已知函数（）.(I)若的定义域和值域均是，求实数的值；(II)若在区间上是减函数，且对任意

4、的，，总有，求实数的取值范围.解：(Ⅰ)∵（）,∴在上是减函数，又定义域和值域均为，∴，即，解得.(II)∵在区间上是减函数，∴，又，且，16∴，.∵对任意的，，总有，∴，.5．已知二次函数．（1）若，试判断函数零点个数；(2)若对且，，试证明，使成立；(3)是否存在，使同时满足以下条件①对，，且；②对,都有．若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．解：（1）当时，函数有一个零点；当时，，函数有两个零点。………4分在内必有一个实根。即，使成立。………………10分(3)假设存在，由①知抛物线的对称轴为x＝－1，且∴由②

5、知对,都有令得……………13分由得，………………………………………………15分当时，，其顶点为（－1，0）满足条件①，又对,都有，满足条件②。∴存在，使同时满足条件①、②。…………………………16分166．已知数列中，，点在直线上．（Ⅰ）计算的值；（Ⅱ）令，求证：数列是等比数列；（Ⅲ）设分别为数列的前n项和，是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）由题意，………2分同理………………………………………3分（Ⅱ）因为所以…………5分…………7分又，所以数列是以为首项，为公比的

6、等比数列.9分（Ⅲ）由（2）得，又所以……………13分由题意，记则……………………15分16故当…………16分7．设函数（其中常数>0，且≠1）．（Ⅰ）当时，解关于的方程（其中常数）；（Ⅱ）若函数在上的最小值是一个与无关的常数，求实数的取值范围．解（Ⅰ）f(x)＝①当x＜0时，f(x)＝＞3．因为m＞2．则当2＜m≤3时，方程f(x)＝m无解；当m＞3，由10x＝，得x＝lg．……………………1分②当x≥0时，10x≥1．由f(x)＝m得10x＋＝m，∴(10x)2－m10x＋2＝0．因为m＞2，判别式＝m2－8＞0

7、，解得10x＝．……………………3分因为m＞2，所以＞＞1．所以由10x＝，解得x＝lg．令＝1，得m＝3．……………………4分所以当m＞3时，＝＜＝1，当2＜m≤3时，＝＞＝1，解得x＝lg．……………5分综上，当m＞3时，方程f(x)＝m有两解x＝lg和x＝lg；当2＜m≤3时，方程f(x)＝m有两解x＝lg．……………………6分(2)（Ⅰ）若0＜a＜1，当x＜0时，0＜f(x)＝＜3；当0≤x≤2时，f(x)＝ax＋．…7分16令t＝ax，则t∈[a2，1]，g(t)＝t＋在[a2，1]上单调递减，所以当t＝1

8、，即x＝0时f(x)取得最小值为3．当t＝a2时，f(x)取得最大值为．此时f(x)在(－∞，2]上的值域是(0，]，没有最小值．……………………………9分（Ⅱ）若a＞1，当x＜0时，f(x)＝＞3；当0≤x≤2时f(x)＝ax＋．令t＝ax，g(t)＝t＋，则t∈[1，a2]．①若a2≤，g(t)＝t＋在[1，a2]上单调递减，所以当t＝a2