北师大版初中数学九年级下册《二次函数最值问题》学案

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1、初三数学二次函数的最值问题解析例1.已知二次函数的图象与x轴交于A（－2，0），B（3，0）两点，且函数有最大值是2，（1）求：二次函数图象的解析式（2）设此二次函数图象的顶点为P，求：△ABP的面积分析：与几何知识结合的函数问题，要注意几何量的大小与点的坐标间的关系。解：（1）∵二次函数的图象与x轴交于点A（－2，0），B（3，0）∴设解析式为即∴所求解析式为另解：∵图象过（－2，0），（3，0）∴对称轴为∴顶点为（）设，把代入即可（2）∵，AB边上的高即P到x轴的距离，为函数最大值2∴例2.如图，在矩形ABCD中，BD＝20，AD＞AB，设∠ABD＝α，已知s

2、inα是方程的一个实数根，点E、F分别是BC、DC上的点，EC＋CF＝8，设BE＝x，△AEF的面积等于y（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当E、F两点在什么位置时，y有最小值？并求出最小值解：（1）解方程可得∵在Rt△ABD中，AD＝BD·sinα∴设BE为x，则有，∵∴（2）∴当时，y有最小值是46故当BE＝10，CF＝2时，y有最小值是46例3.如图，△ABC中，BC＝4，∠B＝45°，，M、N分别是AB、AC上的点，MN∥BC，设MN为x，△MNC的面积为S。（1）求出S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。（2）是否存在平行线段MN，使△M

3、NC的面积等于2，若存在，求出MN的长；若不存在，请说明理由。解：（1）过点A作AD⊥BC，垂足为D，则有设△MNC的MN上的高为h∵MN∥BC∴∴（2）若存在这样的平行线段MN，使则方程必有实数解，即方程必有实数解，但该方程的判别式，说明它没有实解，矛盾，所以不存在这样的平行线段MN，使例4.某商场购进一批单价为16元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多的利润，商场决定提高销售价格，经试验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件，若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件，假定每月销售件数y（件）是价格x（元/件）的一次函数。（1）试求y与x之间的

4、关系式（2）在商品不积压，且不考虑其它因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润？每月的最大利润是多少元？解：（1）设，依题意，得解得：∴（2）设月利润为w，则∵，∴w有最大值。当时，w最大，最大利润为1920元。例5.心理学家研究发现，一般情况下，学生的注意力随着教师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的状态，随后学生的注意力开始分散，经过实验分析可知，学生的注意力y随着时间t的变化规律有如下关系式：（1）讲课开始后，第5分钟时与讲课开始后第25分钟时比较，何时学生的注意力更集中？（2）讲

5、课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？（3）一道数学难题，需要讲解24分钟，为了效果较好，要求学生的注意力最低达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？解：（1）当时，，当时，∴讲课开始后第25分钟时学生的注意力比讲课开始后第5分钟更集中（2）当时，，该图像的对称轴为，在对称轴左侧，y随t的增大而增大，所以，当时，y有最大值240，当时，，y随t的增大而减小，所以，当时，y有最大值240所以，讲课开始后10分钟时，学生的注意力最集中，能持续10分钟（3）当时，令∴当时，令，∴所以，学生注意力在180以上的持续

6、时间为（分钟）所以，老师可经过适当安排，能在学生的注意力达到所需的状态下讲解完这道题目。例6.已知，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与y轴交于点C（0，4），与x轴交于A、B两点，点A在点B的左侧，，求：此抛物线的解析式。解：（1）当A、B两点在原点同侧时，如图1图1∵，∵C（0，4），∴OC＝4，∴OB＝1∴B（－1，0）∵∴A（－5，0）设二次函数解析式，由于抛物线过点C∴∴，即二次函数解析式（2）当A、B两点在原点异侧时，如图2图2∵又∵C（0，4），∴OC＝4，OB＝1，∴B（1，0）由即AB＝4，∴A（－3，0）设二次函数解析式为，由于抛物线过点C∴∴即

7、二次函数解析式为例7已知一次函数（1）根据表中给出的x值，计算对应的函数值，并填在表格中：（2）观察第（1）问表中有关数据，证明如下结论：在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值均成立。（3）试问：是否存在二次函数，其图象经过点（－5，2），且在实数范围内，对于同一个值，这三个函数所对应的函数值均成立，若存在，求出函数的解析式，若不存在，请说明理由。解：（1）（2）证明：∵∴当自变量x取任意实数时，均成立。（3）由经过（－5，2），得①∵依题意，有②由①、②可得∴恒大于0，则满足：令恒大于0，则：满足综上，可得∴解析式为例8已知二次函数的图象经过点

8、A（－3，