束缚态和散射态

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1、实用标准文案束缚态和散射态量子力学的主要研究对象有两类：束缚态散射态束缚态：在势阱中E

2、游离态（自由态），E可取任何连续值。时则可能存在束缚态，此时E取分立值。以下讨论的情况。定态Schrodinger方程为，积分可得出势阱跃变条件，与势垒跃变条件比较：在区域，Schrodinger方程可以写成为其中，精彩文档实用标准文案解为，可写为，利用边界条件可以知道以上两结论是一致的。考虑到，要求束缚定态有确定宇称（不简并，因为是一维），(a)偶宇称态或写成c为归一化因子。现在根据跃变条件求解。按的跃变条件，因此可得出粒子能量的本征值由归一化条件，可得出，是势的特征长度。这样归一化的束缚定态波函数可写为这是δ势阱中的唯

3、一束缚态。属于能量。在中找到粒子的几率为精彩文档实用标准文案(b)奇宇称态波函数可表为由点波函数连续性条件可得，所以不可能存在奇宇称束缚定态。从物理上考虑，奇宇称态在波函数点必为0。而δ势阱又恰在点起作用。所以δ势阱对奇宇称态没有影响，故而不能形成束缚态（参见P60思考题）。2、势与方势的关系，跃变的条件δ势是一种短程相互作用的理想模型，可堪称方位势的一种特殊情况，原则上，它可以从方势的解取极限而得到。从δ势求解更为方便。不连续，但粒子流密度连续。以下仅讨论的跃变条件。考虑粒子对方势垒的散射。在其内部，Schrodinge

4、r方程为考虑粒子能量情况，在势垒内部（），波函数可表为其中。显然，而且。现在让，，而对δ势垒，（？）若保持（常数），则方势垒将趋于一个δ势垒。精彩文档实用标准文案利用，得，当，（保持）时，但且当时，代入，由得即此恰为前述的跃变条件。2、束缚能级与透射振幅极点的关系束缚能级与散射问题有着密切的关系。下面以一维势阱为例进行分析。散射问题中我们取，而在势阱束缚态的。对的透射振幅，如把的透射振幅解析延拓到时，我们来研究束缚能级与透射振幅极点的关系。先讨论δ函数势阱，，此时透射振幅由精彩文档实用标准文案其中，。（注意已将势垒透射振幅

5、表达式中的）如解析延拓到E<0能阈（k为虚），由，则S有单极点（一阶极点）。此时，由前可知，此恰为δ势阱的唯一束缚能级。对于方势阱，其解析延拓情况可参阅教材相关内容。作业：p8213§3.5一维谐振子经典物理的谐振子模型：分子的振动、晶格的振动、原子核表面振动以及辐射场的振动等量子物理的谐振子模型：黑体辐射场量子化等，把场中的粒子看作谐振子一维谐振子的本征值问题是处理量子力学问题的最基本的范例。一、势函数选线性谐振子的平衡位置为坐标原点，以坐标原点为零势能点，则一维线性谐振子的势能为：m是粒子的质量k是谐振子的劲度系数是谐

6、振子的角频率二、薛定谔方程及解精彩文档实用标准文案或理想的谐振子是一个无限深势阱。因为时，，为束缚态。为化简上述方程，便于求解，引进无量纲参数，，，上述方程可化为这是个变系数常微分方程。（1）先讨论行为，求渐进解（此时可略去）对方程其解显然可以写为，因为，根据束缚态边界条件，有，（2）求实际解利用，有，代入方程（4）得所满足的方程，精彩文档实用标准文案这就是所谓的Hermite方程。为方程的常点。可在邻域用幂级数展开。计算表明，一般情况下解为无穷级数。当时，，不能满足有界条件。为得到有界解，幂级数要求中断为一多项式。可以证

7、明，当时可以得出一多项式解此时，n=0,1,2,…第二项称为n界厄米多项式，宇称为（？）满足下列递推关系，是的次多项式。归一化波函数为，是一个实函数其中。在求归一化系数A时，要用到厄米多项式的正交关系，所以归一化波函数为精彩文档实用标准文案最常用的几个态，，基态，，（偶宇称），第一激发态，，（奇宇称），第二激发态，，（偶宇称）线性谐振子波函数线性谐振子位置概率密度线性谐振子n=11时的概率密度分布虚线代表经典结果：经典谐振子在原点速度最大，停留时间短粒子出现的概率小；在两端速度为零，出现的概率最大。精彩文档实用标准文案讨论

8、：①微观一维谐振子能量量子化，能量特点：(1)量子化，等间距(2)有零点能符合不确定关系概率分布特点:E