高考数学导学练系列 导数及其应用教案 苏教版

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1、导数及其应用考纲导读1.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度,加速度,光滑曲线切线的斜率等);掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义;理解导函数的概念.2.熟记八个基本导数公式(c,(m为有理数),的导数);掌握两个函数和、差、积、商的求导法则,了解复合函数的求导法则,会求某些简单函数的导数.3.理解可导函数的单调性与其导数的关系;了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号);会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值.知识网络高考导航导数的应用价值极高,主要涉及函数单调性、极大(小)值,以及最大(小)值等,遇到

2、有关问题要能自觉地运用导数.第1课时变化率与导数、导数的计算基础过关1.导数的概念:函数y=的导数,就是当Δ0时,函数的增量Δy与自变量的增量Δ的比的,即==.2.导函数:函数y=在区间(a,b)内的导数都存在,就说在区间(a,b)内,其导数也是(a,b)内的函数,叫做的,记作或,函数的导函数在时的函数值,就是在处的导数.3.导数的几何意义:设函数y=在点处可导,那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点处的.4.求导数的方法(1)八个基本求导公式=;=;(n∈Q)=,==,==,=(2)导数的四则运算===,=(3)复合函数的导数设在点x处可导,在点

3、处可导,则复合函数在点x处可导,且=,即.典型例题例1.求函数y=在x0到x0+Δx之间的平均变化率.解∵Δy=变式训练1.求y=在x=x0处的导数.解例2.求下列各函数的导数:(1)(2)(3)(4)解(1)∵∴y′(2)方法一y=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6,∴y′=3x2+12x+11.方法二==(x+3)+(x+1)(x+2)=(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2)=(2x+3)(x+3)+(x+1)(x+2)=3x2+12x+11.(3)∵y=∴(4),∴变式训练2:求y=tanx的导数.解y′例3.已

4、知曲线y=(1)求曲线在x=2处的切线方程;(2)求曲线过点(2,4)的切线方程.解(1)∵y′=x2,∴在点P(2,4)处的切线的斜率k=

5、x=2=4.∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.(2)设曲线y=与过点P(2,4)的切线相切于点,则切线的斜率k=

6、=.∴切线方程为即∵点P(2,4)在切线上,∴4=即∴∴(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2,故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.变式训练3:若直线y=kx与曲线y=x3-3x2+2x相切,则k=.答案2或例4.设函数

7、(a,b∈Z),曲线在点处的切线方程为y=3.(1)求的解析式;(2)证明:曲线上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值,并求出此定值.(1)解,于是解得或因为a,bZ,故(2)证明在曲线上任取一点.由知,过此点的切线方程为.令x=1,得,切线与直线x=1交点为.令y=x,得,切线与直线y=x的交点为.直线x=1与直线y=x的交点为(1,1).从而所围三角形的面积为.所以,所围三角形的面积为定值2.变式训练4:偶函数f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e的图象过点P(0,1),且在x=1处的切线方程为y=x-2,求y=f(x)的解

8、析式.解∵f(x)的图象过点P(0,1),∴e=1.①又∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x).故ax4+bx3+cx2+dx+e=ax4-bx3+cx2-dx+e.∴b=0,d=0.②∴f(x)=ax4+cx2+1.∵函数f(x)在x=1处的切线方程为y=x-2,∴可得切点为(1,-1).∴a+c+1=-1.③∵=(4ax3+2cx)

9、x=1=4a+2c,∴4a+2c=1.④由③④得a=,c=.∴函数y=f(x)的解析式为小结归纳1.理解平均变化率的实际意义和数学意义。2.要熟记求导公式,对于复合函数的导数要层层求导.3.搞清导

10、数的几何意义,为解决实际问题,如切线、加速度等问题打下理论基础.第2课时导数的概念及性质基础过关1.函数的单调性⑴函数y=在某个区间内可导,若>0,则为;若<0,则为.(逆命题不成立)(2)如果在某个区间内恒有,则.注:连续函数在开区间和与之相应的闭区间上的单调性是一致的.(3)求可导函数单调区间的一般步骤和方法:①确定函数的;②求,令,解此方程,求出它在定义区间内的一切实根;③把函数的间断点(即的无定义点)的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间;④确定在各小开区间内的,根据的符号判定函数在各个相应

11、小开区间内的增减性.2.可导函数的极值⑴极值的概念设函数在点附近有定义,且对附近

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