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《高考数学一轮复习 第十二篇 概率、随机变量及其分布 第3讲 几何概型教案 理 新人教版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第3讲 几何概型【2013年高考会这样考】以选择题或填空题的形式考查与长度或面积有关的几何概型的求法是高考对本内容的热点考法，特别是与平面几何、函数等结合的几何概型是高考的重点内容．新课标高考对几何概型的要求较低，因此高考试卷中此类试题以低、中档题为主．【复习指导】本讲复习时，准确理解几何概型的意义、构造出度量区域是用几何概型求随机事件概率的关键，复习时要多反思和多领悟，掌握方法要领．同时要加强与平面区域、空间几何体、平面向量、函数结合等方面的训练．基础梳理1．几何概型事件A理解为区域Ω的某一子区域A，A的概率只与子
2、区域A的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A的位置和形状无关．满足以上条件的试验称为几何概型．2．几何概型中，事件A的概率计算公式P(A)＝.3．要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性．一条规律对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法．两种类型(1)线型几何概型：当基本事件只受一个连续的变量控制
3、时．(2)面型几何概型：当基本事件受两个连续的变量控制时，一般是把两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决．双基自测1．(人教A版教材习题改编)在线段[0,3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为( )．A.B.C.D．1解析 点坐标小于1的区间长度为1，故所求其概率为.答案 B2．一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，当某人到达路口时看见的是红灯的概率是( )．A.B.C.D.解析 以时间的长短进行度量，故P＝＝.答
4、案 B3．(2012·衡阳模拟)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )．解析 P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝，∴P(A)＞P(C)＝P(D)＞P(B)．答案 A4.某人随机地在如图所示正三角形及其外接圆区域内部投针(不包括三角形边界及圆的边界)，则针扎到阴影区域(不包括边界)的概率为( )．A.B.C.D．以上全错解析 设正三角形边长为a，则外接圆半径r＝a×＝a，∴所求概率P＝＝.答案 B5．在区间[－1,
5、2]上随机取一个数x，则x∈[0,1]的概率为________．解析 如图，这是一个长度型的几何概型题，所求概率P＝＝.答案 考向一 与长度有关的几何概型【例1】►点A为周长等于3的圆周上的一个定点．若在该圆周上随机取一点B，则劣弧的长度小于1的概率为________．[审题视点]用劣弧的长度与圆周长的比值．解析 如右图，设A、M、N为圆周的三等分点，当B点取在优弧上时，对劣弧来说，其长度小于1，故其概率为.答案 将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事
6、件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解．【训练1】一只蚂蚁在三边长分别为3,4,5的三角形的边上爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为________．解析 如图，该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的长度为：1＋2＋3＝6，故所求概率为P＝＝.答案 考向二 与面积有关的几何概型【例2】►(2012·华东师大附中模拟)设有关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.(1)若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中
7、任取的一个数，求上述方程有实根的概率；(2)若a是从区间[0,3]任取的一个数，b是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．[审题视点](1)为古典概型，利用列举法求概率．(2)建立ab平面直角坐标系，将问题转化为与面积有关的几何概型．解 设事件A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”．当a≥0，b≥0时，方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的充要条件为a≥b.(1)基本事件共有12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(
8、3,1)，(3,2)．其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．事件A中包含9个基本事件，事件A发生的概率为P(A)＝＝.(2)试验的全部结果所构成的区域为{(a，b)
9、0≤a≤3,0≤b≤2}，构成事件A的区域为{(a，b)
10、0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b}，所以所求的概率为P(A)＝＝.数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法
