高考数学一轮复习 9.6 空间向量及其运算精品教学案（学生版） 新人教版

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1、2013年高考数学一轮复习精品教学案9.6空间向量及其运算【考纲解读】1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．【考点预测】高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为:1.立体几何是历年来高考重点内容之一,在选择题、填空题与解答题中均有可能出现，难度不大，主要考查空间中线线、线面、面面的位置关系的判定与证明，考查表面积与体积的求解，考查

2、三视图等知识，在考查立体几何基础知识的同时，又考查数形结合思想、转化与化归等数学思想，以及分析问题、解决问题的能力.2.2013年的高考将会继续保持稳定,坚持考查立体几何的基础知识，命题形式相对会较稳定.【要点梳理】1．空间向量的概念向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。说明：①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相

3、等，用同向且等长的有向线段表示；②平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。2．向量运算和运算率加法交换率：加法结合率：数乘分配率：说明：①引导学生利用右图验证加法交换率，然后推广到首尾相接的若干向量之和；②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。3．平行向量(共线向量)：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。平行于记作∥。注意：当我们说、共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平行直线；当我们说、平行时，也具有同

4、样的意义。共线向量定理：对空间任意两个向量（≠）、，∥的充要条件是存在实数使＝注：⑴上述定理包含两个方面：①性质定理：若∥（≠0），则有＝，其中是唯一确定的实数。②判断定理：若存在唯一实数，使＝（≠0），则有∥（若用此结论判断、所在直线平行，还需（或）上有一点不在（或）上）。⑵对于确定的和，＝表示空间与平行或共线，长度为

5、

6、，当>0时与同向，当<0时与反向的所有向量。⑶若直线l∥，，P为l上任一点，O为空间任一点，下面根据上述定理来推导的表达式。推论：如果 l为经过已知点A且平行于已知非零向量的直

7、线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足等式①其中向量叫做直线l的方向向量。在l上取，则①式可化为②当时，点P是线段AB的中点，则③①或②叫做空间直线的向量参数表示式，③是线段AB的中点公式。注意：⑴表示式(﹡)、(﹡﹡)既是表示式①,②的基础，也是常用的直线参数方程的表示形式；⑵推论的用途：解决三点共线问题。⑶结合三角形法则记忆方程。4．向量与平面平行：如果表示向量的有向线段所在直线与平面平行或在平面内，我们就说向量平行于平面，记作∥。注意：向量∥与直线a∥的联系与区别。共

8、面向量：我们把平行于同一平面的向量叫做共面向量。共面向量定理如果两个向量、不共线，则向量与向量、共面的充要条件是存在实数对x、y，使①注：与共线向量定理一样，此定理包含性质和判定两个方面。推论：空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x、y，使④或对空间任一定点O，有⑤在平面MAB内，点P对应的实数对（x,y）是唯一的。①式叫做平面MAB的向量表示式。又∵代入⑤，整理得⑥由于对于空间任意一点P，只要满足等式④、⑤、⑥之一（它们只是形式不同的同一等式），点P就在平面MAB内；对于平面MA

9、B内的任意一点P，都满足等式④、⑤、⑥，所以等式④、⑤、⑥都是由不共线的两个向量、（或不共线三点M、A、B）确定的空间平面的向量参数方程，也是M、A、B、P四点共面的充要条件。5．空间向量基本定理：如果三个向量、、不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x,y,z,使说明：⑴由上述定理知，如果三个向量、、不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是，这个集合可看作由向量、、生成的，所以我们把{，，}叫做空间的一个基底，，，都叫做基向量；⑵空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底；

10、⑶一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同的概念；⑷由于可视为与任意非零向量共线。与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面就隐含着它们都不是。推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组，使6．数量积（1）夹角：已知两个非零向量、，在空间任取一点O，作，，则角∠AOB叫做向量与的夹角，记作说明：⑴规定0≤≤,因而=；⑵如果=，则称与互相垂直，记作⊥；⑶在表示两个向量的夹角时，要使有向线段的起点重合，注意图（3