高二数学 多面体和正多面体 球的体积和表面积同步教案 新人教a版

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1、高二数学（第26讲）【教学内容】第九章直线平面简单几何多面体和正多面体球的体积和表面积【教学目标】1、掌握多面体的有关概念和欧拉公式2、掌握球的有关概念、性质及球的体积和表面积的求法。【知识重点与难点】1、正多面体的每个面都是相同边数的正多边形，以每个顶点为其一端都有相同数目的棱，这样的多面体只有五种，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体；2、简单多面体的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间的关系满足欧拉公式V+F-E=2；3、球既是中心对称，又是轴对称的简单几何体，它的任何截面均为圆面；（1）球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆；（2）球面被不经过球心

2、的截面截得的圆叫做小圆；球的截面有以下性质：（1）球心和截面圆心的连线垂直于截面；（2）球心到截面的距离d与球半径R及截面半径r有下面的关系：4、在球面上，两点之间的最短连线的长度，是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，这个弧长叫两点的球面距离。区别球面上两点A、B的直线距离与球面距离。球面距离的计算步骤：（1）计算线段AB的长；（2）计算A、B对球心O的张角∠AOB（写成弧度）（3）计算大圆弧AB的长（弧长等于圆心角的弧度数乘以半径）5、球的体积公式：（R为球半径）球的表面积公式6、球的有关“接”与“切”的问题，常通过适当的轴截面化归为圆中问题解决。【典型例题分析】

3、例1：判断题（1）过球面上两个点，只能作一个大圆（）（2）球是与定点的距离等于定长的点的集合（）（3）地球的经线是地球的半个大圆（）（4）地球的纬线是地球的大圆（）解：（1）错。若这两个点恰好是球直径的两个端点，那么就可以作无数多少大圆。（2）错。与定点的距离等于定长的点的集合是球面，球面所围成的几何体才叫球体（简称球）（3）对。（4）错。点评：有关球的问题中常出现地球经纬度的问题。某地的经度就是过这点的经线与地轴确定的半平面与本初子午线与地轴确定的半平面所成二面角的度数。经线是半个大圆。某地的纬度是经过这点的球半径与赤道面所成角的度数。纬线除赤道外均为小圆。例2：在北纬45

4、°线上的A、B两点，点A在东经30°，点B在东经120°，若地球的半径为R，求A、B两地在球面上的最短距离？分析：A、B两地在球面上的最短距离就是A、B两点的球面距离，即过A、B的大圆在A、B间的劣弧的长度。因此关键要求出∠AOB的大小。若要求∠AOB只需求线段AB的长，而在△AO1B中可求出AB的长。解：∵A在北纬45°线上∴∠O1AO=45°，∵A、B的经度差为90°∴∠AO1B=90°Rt△AO1B中，△AO1B中，∠AO1B=60°∴A、B的球面距离为例3：用两平行平面截半径为5的球，若截面面积分别为9π，16π，则这两平行平面间距离是。·O2O1r2r1O2r2O分

5、析：不必画球的直观图，只需画出轴截面，将空间问题转化为平面问题。因为球是对称的所以这两个截面可能在球的同侧或异侧。解：设⊙O1半径为r1πr12=16πr1=4⊙O2半径为r2πr22=9πr2=3OO若两个截面在球心同侧，则两平行平面间距离O1O2=4-3=1若两个截面在球心异侧，则两平行平面间距离O1O2=4+3=7例4：在球面上有四个点P、A、B、C，若PA、PB、PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a，求球的表面积？分析：，关键求出球的半径R。此题需要画出球的直观图。由题意可知，△ABC是正三角形，三棱锥P-ABC中，P在平面ABC内的射影O1是△ABC的中心，也是

6、截面ABC的圆心，OO1⊥平面ABC。而且题中AO1可以求出。因此在Rt△PO1A和Rt△OO1A中运用勾股定理即可。解：设球半径为R，作PO1⊥平面ABC与O1，连接OO1、AO、AO1∵PA、PB、PC两两垂直，又PA=PB=PC=a∴AB=BC=CA=∴P在平面ABC内的射影O1是正△ABC的中心，也是截面的圆心。∴OO1⊥平面ABC∴P、O1、O共线△ABC中，点拨：1、本题中要善于把已知条件转化为已熟练的棱锥中的问题。2、此题中球O既是四面体PABC的外接球，也是棱长为a的正方体的上接球，由于正方体的对角线长为，故球O的半径为。例5：若球半径为R，则球的内接正方体与

7、外切正方体的棱长之比为。分析：（1）球的内接正方体的8个顶点应落在球面上；（2）球的外切正方体的6个面都与球相切。分别画出适当的轴截面，（1）应取球正方体的对角面作轴截面；（2）如图应取A、B、C、D作截面。解：（1）中设正方体棱长为a，则（2）中设正方体棱长为b，则b=2RABDC·OABDCO·BC·OAD·Oa:b=1:(1)(2)ADBC点拨：几何体之间“接”与“切”的问题，必须明确“接”“切”的位置画出能体现元素间数量关系的截面，借助平面图形来研究。例6：三棱锥A-BCD的两条棱AB=CD=6