高中数学《幂函数》教案3 湘教版必修1

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1、幂函数、指数函数和对数函数·反函数教学目标1．使学生正确理解反函数的概念，初步掌握求反函数的方法．2．培养学生分析问题、解决问题的能力及抽象概括的能力．3．使学生思维的深刻性进一步完善．教学重点与难点教学重点是求反函数的技能训练．教学难点是反函数概念的理解．教学过程设计一、揭示课题师：今天我们将学习函数中一个重要的概念——反函数．（板书：反函数1．反函数的概念）二、讲解新课师：什么是反函数呢？让我们一起来思考这样一个问题：在函数y=2x+1中，如果把x当作因变量，把y当作自变量，能否构成一个函数呢？生：可以构成一个函数．师：为

2、什么是个函数呢？一的x与之相对应．师：根据这位同学的表述，这是符合函数定义的，也就是说，按照上述原则，函数y=2x+1是存在反函数的．这个反函数的解析式是怎样的呢？师：这种表示方法是没有问题的，但不符合我们的习惯，按习惯用字母x表示自变量，用字母y表示因变量，故这个函数的解析式又可以是不是同一函数呢？生：是．师：能具体解释一下吗？和值域，皆为R，同时对应法则都是自变量减1除以2得因变量，也是相同的，所以它们是相同的函数．生：有．就是y=2x+1．那么，是不是所有函数都会有反函数呢？生：不是所有函数都有反函数．师：能举个例子说明

3、吗？生：如函数y=x2，将y当作自变量，x当作因变量，在y允许取值范围内，一个y可能对应两个x，如y=1，则对应x=±1，因此不能构成函数，说明它没有反函数．师：说得非常好．如果从形的角度来解释，会看得更清楚，见图1，从图中可看出给出一个y能对应两个x．通过对几个具体函数的研究，了解了什么是反函数，把前面对函数y=2x+1的反函数的研究过程一般化，概括起来就可以得到反函数的定义．由于这个定义比较长，所以我们一起阅读书上相关内容．（板书：（1）反函数的定义）（要求学生打开书第60页第二自然段，请一名同学朗读这一段内容．为帮助学生

4、理解定义中的描述，教师可以再以一个具体函数为例解字的含义表示不是所有函数都有反函数．）对于反函数有了初步的了解之后，下面进一步对这个特殊的函数概念作点深入研究．（板书：（2）对概念的理解．）师：反函数的“反”字应当是相对原来给出的函数而言的，那么它加以研究．生：对应法则不同．师：能否说得再具体点，怎么不同？生：这两个函数的对应法则中，x与y的位置换位．（研究两函数间的关系应从函数三要素角度入手研究，老师可适当引导学生向三要素靠拢．）师：还有什么联系吗？师：根据刚才我们的讨论，可以发现反函数的三要素是由原来函数决定的，当给出的函

5、数确定下来后，其反函数的三要素也就确定下来了，可以简记为“三定”．把这种确定关系具体化，也就是反函数的“反”字体现在什么地方呢？生：反函数的定义域就是原来函数的值域；反函数的值域就是原来函数的定义域；反函数的对应法则就是把原来函数对应法则中x与y的位置互换．师：由此我们可以看到反函数的“反”实际体现为“三反”．在这“三反”中，起决定作用的就是x与y的反置，正是由于它们位置的改变，才把相应取值反置，从而引起另外两“反”．（板书：a．“三定”，b．“三反”）师：从函数概念的角度来看，我们明确了原来函数与其反函数间的关系，当然还可以

6、从其它方面入手进行研究，如：一个函数有没有反函数？若有反函数，它的性质如何？与原来函数的性质有什么关系？通过前面几个例子可以发现，上述问题中，原来函数的性质起着决定性作用，而且反函数的性质也与原来函数的性质相关．由于函数和反函数有如此密切的关系，它已成为进一步研究函数的重要方面．当我们研究某个函数性质时，如果这个函数有反函数，就可以在两者中择其简而研究之，这就增加了函数的研究方法．师：对反函数概念作了较全面认识之后，自然提出这样一个问题：如果一个函数存在反函数，如何去求这个函数的反函数呢？一起看这样二个题目．生：（板书）（在表

7、述上不规范之处，先暂时不追究，待例2解完之后再一起讲评．）例2 求f（x）=x2+1（x≥1）的反函数．生：（板书）师：下面请同学对两个例题的表述作个评价．师：这和黑板上所得的函数有什么不同吗？生：两个函数的定义域分别是x≥1和x≥2，所以是不同的两个函数．生：因为反函数的定义域应是原来给出函数f（x）的值域，而f（x）师：说得很好．根据我们对反函数的认识，反函数的定义域就是原来给出函数的值域．所以要求出反函数的定义域，就必须先求出原来函数的值域．那么例2的求解过程应当怎样调整呢？师：通过刚才的讨论，我们发现并解决了例2反函数

8、的存在问题，同时也注意到求反函数必须明确指出其定义域，以保证结论的正确性．除此之外，还有什么问题吗？生：为什么没有在例1中求原来所给函数的值域呢？师：请同学们针对这个问题讨论一下．生：因为原来所给的函数的值域是y≠0，这和所求出的反函数的定义域是x≠0为结论是一致的，所以没有