高中数学 等比数列复习教案 新人教a版必修5

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1、等比数列复习1、等比数列的定义  如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示.注意(1)、q是指从第2项起每一项与前一项的比,顺序不要错,即(2)、由定义可知,等比数列的任意一项都不为0,因而公比q也不为0.(3)、公比q可为正数、负数,特别当q=1时,为常数列a1,a1,……;q=-1时,数列为a1,-a1,a1,-a1,…….(4)、要证明一个数列是等比数列,必须对任意n∈N+,an+1÷an=q,或an÷an-1

2、=q(n≥2)都成立.2、等比数列的通项公式由a2=a1q,a3=a2q=a1q2,a4=a3q=a1q3,……,归纳出an=a1qn-1.此式对n=1也成立.3、等比中项  如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项.4、等比数列的判定方法(1)、an=an-1·q(n≥2),q是不为零的常数,an-1≠0{an}是等比数列.(2)、an2=an-1·an+1(n≥2,an-1,an,an+1≠0){an}是等比数列.(3)、an=c·qn(c,q均是不为零的常数){a

3、n}是等比数列.5、等比数列的性质  设{an}为等比数列,首项为a1,公比为q.(1)、当q>1,a1>0或01,a1<0或00时,{an}是递减数列;当q=1时,{an}是常数列;当q<0时,{an}是摆动数列.(2)、an=am·qn-m(m、n∈N*).(3)、当m+n=p+q(m、n、q、p∈N*)时,有am·an=ap·aq.(4)、{an}是有穷数列,则与首末两项等距离的两项积相等,且等于首末两项之积.(5)、数列{λan}(λ为不

4、等于零的常数)仍是公比为q的等比数列;若{bn}是公比为q′的等比数列,则数列{an·bn}是公比为qq′的等比数列;数列是公比为的等比数列;{

5、an

6、}是公比为

7、q

8、的等比数列.(6)、在{an}中,每隔k(k∈N*)项取出一项,按原来顺序排列,所得新数列仍为等比数列且公比为qk+1.(7)、当数列{an}是各项均为正数的等比数列时,数列{lgan}是公差为lgq的等差数列.(8)、{an}中,连续取相邻两项的和(或差)构成公比为q的等比数列.(9)、若m、n、p(m、n、p∈N*)成等差数列时,am、an

9、、ap成等比数列.6、等比数列的前n项和公式由此得q≠1时等比数列{an}的前n项和的公式.因为an=a1qn-1,所以上面公式还可以写成.当q=1时,Sn=na1.7、等比数列前n项和的一般形式  一般地,如果a1,q是确定的,那么8、等比数列的前n项和的性质(1)、若某数列前n项和公式为Sn=an-1(a≠0,±1),则{an}成等比数列.(2)、若数列{an}是公比为q的等比数列,则Sn+m=Sn+qn·Sm.(3)、在等比数列中,若项数为2n(n∈N*),则(4)、Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成

10、等比数列.二、举例讲解1、利用等比数列的通项公式进行计算.【例1】在等比数列{an}中,a1+a2+a3=-3,a1a2a3=8①求通项公式,②求a1a3a5a7a9.解析:①设公比为q,则由已知得    【例2】有四个数,前三个成等差,后三个成等比,首末两项和37,中间两项和36,求这四个数.解析1:按前三个数成等差可设四个数为:a-d,a,a+d,,由已知得:解析2:按后三个数成等比可设四个数为2a-aq,a,aq,aq2,由已知得:解析3:依条件设四个数分别为x,y,36-y,37-x,2、利用等比数列

11、的性质解题.【例3】等比数列{an}中, (1)、已知,求通项公式.(2)、已知a3a4a5=8,求a2a3a4a5a6的值.3、如何证明所给数列是否为等比数列.【例4】设{an}是等差数列,,已知,,求等差数列的通项an.4、利用等比数列的前n项和公式进行计算.【例5】若数列{an}成等比数列,且an>0,前n项和为80,其中最大项为54,前2n项之和为6560,求S100=?5、利用an,Sn的公式及等比数列的性质解题.【例6】数列{an}中,a1=1,且anan+1=4n,求前n项和Sn.解析:由已知得

12、anan+1=4n   ……①     an+1an+2=4n+1……②a1≠0,②÷①得.∴a1,a3,a5,…,a2n-1,…;a2,a4,a6,…,a2n,…都是公比q=4的等比数列,a1=1,a2=4.①当n为奇数时,作业:《学案》P48面双基训练

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