高中数学 第二章平面解析几何 圆与圆的位置关系教案 苏教版必修2

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1、听课随笔第二章平面解析几何初步第二节圆与方程第15课时圆与圆的位置关系【学习导航】圆与圆的位置关系外切相交内切外离内含知识网络学习要求1．掌握圆与圆的位置关系的代数与几何判别方法；2．了解用代数法研究圆的关系的优点；3．了解算法思想．【课堂互动】自学评价1．圆与圆之间有外离，外切，相交，内切，内含五种位置关系．2.设两圆的半径分别为，圆心距为，当时，两圆外离，当时，两圆外切，当时，两圆相交，当时，两圆内切，当时，两圆内含．3.思考：用代数方法，通过联立方程组，用判别式法可以判断两个圆的位置关系吗？为什么？【精

2、典范例】例1：判断下列两圆的位置关系：【解】（1）根据题意得，两圆的半径分别为，两圆的圆心距因为，所以两圆外切．（2）将两圆的方程化为标准方程，得．故两圆的半径分别为，两圆的圆心距．因为，所以两圆相交．点评：判断两圆的位置关系，不仅仅要判断与的大小，有时还需要判断与的关系．例2：求过点且与圆切于原点的圆的方程．分析：如图，所求圆经过原点和，且圆心应在已知圆的圆心与原点的连线上．根据这三个条件可确定圆的方程．【解】将圆化为标准方程，得，则圆心为，半径为．所以经过此圆心和原点的直线方程为．设所求圆的方程为．由题意

3、知，在此圆上，且圆心在直线上，则有于是所求圆的方程是．点评：此题还可以通过弦的中垂线必过圆心这一性质来解题，由题意，圆心必在直线上，又圆心在直线，从而圆心坐标为，，所以所求圆的方程为．追踪训练一1.判断下列两个圆的位置关系：；．答案：（1）内切，（2）相交．2.若圆与圆相交，求实数的取值范围．答案：．【选修延伸】一、两圆公共弦长及公共弦所在直线方程例3:已知圆，圆，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．分析：因两圆的交点坐标同时满足两个圆方程，联立方程组，消去项、项，即得两圆的两个交点所在的直线方程，利用勾

4、股定理可求出两圆公共弦长．【解】设两圆交点为、，则两点坐标满足方程组，得．因为，两点坐标都满足此方程，所以，即为两圆公共弦所在的直线方程．易知圆的圆心，半径．又到直线的距离为．所以，．即两圆的公共弦长为．点评:本题较为复杂，要讨论的情况比较多，解题过程中要注重分析．例5：求过两圆的交点，且圆心在直线上的圆的方程．分析：所求圆圆心是两已知圆连心线和已知直线的交点，再利用弦心距、弦长、半径之间的关系求圆半径【解】（法一）可求得两圆连心线所在直线的方程为．由得圆心．利用弦心距、弦长、半径之间的关系可求得公共弦长，所

5、以，圆半径．听课随笔所以，所求圆方程为，即（法二）设所求圆的方程为即．故此圆的圆心为，它在直线上，所以，所以．所以所求圆方程为点评:“解法二”中设出的经过两已知圆交点的圆方程叫做经过两已知圆的圆系方程．思维点拔：解题时要充分利用两圆位置关系的几何性质．追踪训练二1．一个圆经过圆和圆的两个交点，且圆心在直线上，求该圆的方程．答案：．2．已知一个圆经过直线与圆的两个交点，并且有最小面积，求此圆的方程．答案：．学生质疑教师释疑