高中数学 推理与证明 板块三 数学归纳法完整讲义（学生版）

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1、学而思高中完整讲义：统计.板块一.随机抽样.学生版典例分析题型一：数学归纳法基础【例1】已知n为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证（）A．时等式成立B．时等式成立C．时等式成立D．时等式成立【例2】已知n是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n=k（且为偶数）时命题为真，，则还需证明（）A.n=k+1时命题成立B.n=k+2时命题成立C.n=2k+2时命题成立D.n=2（k+2）时命题成立【例3】某个命题与正整数n有关，如果当时命题成立，那么可推得当时命题也成立.现已知当时该命题不成立，那么可推得（）A．当n=6时该命题不成

2、立B．当n=6时该命题成立C．当n=8时该命题不成立D．当n=8时该命题成立【例4】利用数学归纳法证明“”时，从“”变到“”时，左边应增乘的因式是（）ABCD【例5】用数学归纳法证明，在验证n=1时，左边计算所得的式子是（）A.1B.C.D.【例6】用数学归纳法证明，从“k到k+1”左端需乘的代数式是（）A.2k+1B.C.D.【例1】用数学归纳法证明：1+++时，在第二步证明从n=k到n=k+1成立时，左边增加的项数是（）A.B.C.D.【例2】设，用数学归纳法证明“”时，第一步要证的等式是【例3】用数学归纳法证明“”（）时，从“到”时，左边应增添的式子是____。

3、【例4】用数学归纳法证明不等式的过程中，由k推导到k+1时，不等式左边增加的式子是【例5】是否存在常数是等式对一切成立？证明你的结论。题型二：证明整除问题【例6】若存在正整数，使得能被整除，则=【例7】证明：能被整除【例8】已知数列满足，当时，．求证：数列的第项能被3整除．【例9】用数学归纳法证明：能被9整除．【例1】设是任意正整数，求证：能被6整除．【例2】用数学归纳法证明：对于一切正整数，能被264整除．【例3】(n≥4且n∈N*)个正数排成一个n行n列的数阵：第1列第2列第3列……第n列第1行……第2行……………………………………第n行……其中(1≤i≤n，1≤

4、k≤n，且i，k∈N)表示该数阵中位于第i行第k列的数.已知该数阵每一行的数成等差数列，每一列的数成公比为2的等比数列，且=8，=20.(Ⅰ)求和；(Ⅱ)设，证明：当n为3的倍数时，()能被21整除.题型三：证明恒等式与不等式【例4】证明不等式（）【例5】用数学归纳法证明：，.【例6】证明：，.【例7】用数学归纳法证明：．【例8】是否存在常数a、b、c，使等式对一切正整数n都成立？证明你的结论【例1】在数列中，，（1）写出；（2）求数列的通项公式【例2】用数学归纳法证明：【例3】用数学归纳法证明：（Ⅰ）；（Ⅱ）；【例4】对于的自然数，证明：．【例5】已知，求证：对任意

5、大于1的自然数，．题型四：数列中的数学归纳法【例6】设均为正数，且，求证：当n≥2的时候，≥【例7】已知数列中，，求数列的通项公式.【例8】在数列中，，是它的前项和，当时，成等比数列，求数列的通项公式．【例1】设整数数列满足，，，且．证明：任意正整数，是一个整数的平方．【例2】由正实数组成的数列满足：．证明：对任意，都有．【例3】实数数列定义如下，已知⑴证明：对任意，；⑵问有多少个不同的，使得．【例4】两个实数数列、满足：，证明：时，．【例5】在数列中，若它的前项和．⑴计算的值；⑵猜想的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．【例6】已知函数，设数列满足，，数列满足，．用

6、数学归纳法证明．【例7】设数列，，……中的每一项都不为．证明：为等差数列的充分必要条件是：对任何，都有．题型五：其他类型题【例1】已知函数，满足条件：①；②；③；④当时，有.(1)求，的值；(2)由，，的值，猜想的解析式；(3)证明你猜想的的解析式的正确性.【例2】数列，（Ⅰ）是否存在常数，使得数列是等比数列，若存在求的值，若不存在，说明理由。（Ⅱ）设，求证：时，【例3】已知数列满足：，，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设，试求数列的通项公式；（Ⅲ）对于任意的正整数，试讨论与的大小关系．