高中数学 圆锥曲线综合 板块四 中点问题完整讲义（学生版）

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1、学而思高中完整讲义：圆锥曲线综合.板块四.中点问题.学生版典例分析【例1】已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点、，则等于（　　）A．B．C．D．【例2】设已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点为，直线与抛物线相交于，两点．若的中点为，则直线的方程为_____________．【例3】设，两点在抛物线上，是的垂直平分线．当直线的斜率为时，在轴上截距的取值范围为_________．【例4】已知定点，，定直线，不在轴上的动点与点的距离是它到直线的距离的2倍．设点的轨迹为，过点的直线交于、两点，直线、分别交于点

2、、⑴求的方程；⑵试判断以线段为直径的圆是否过点，并说明理由．【例5】已知椭圆的离心率为，椭圆上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为．⑴求椭圆的方程；⑵设直线与椭圆交与两点，点，且，求直线的方程．【例6】已知椭圆：，试确定的取值范围，使得对于直线：，椭圆上有不同的两点关于这条直线对称．【例7】已知的三边长，，成等差数列，若点的坐标分别为，．⑴求顶点的轨迹的方程；⑵若线段的延长线交轨迹于点，记线段的垂直平分线与轴交点的横坐标为，试将表示成直线的斜率的表达式．⑶当时，求的取值范围．【例1】已知定点及椭圆，过

3、点的动直线与椭圆相交于，两点．①若线段中点的横坐标是，求直线的方程；②在轴上是否存在点，使为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【例2】已知椭圆的方程为，点的坐标为．⑴若直角坐标平面上的点、，满足，求点的坐标；⑵设直线交椭圆于、两点，交直线于点．若，证明：为的中点；⑶对于椭圆上的点，如果椭圆上存在不同的两个交点、满足，写出求作点、的步骤，并求出使、存在的的取值范围．【例3】已知椭圆的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4．⑴求椭圆的方程；⑵设直线与椭圆相交于不同的两点，，已知点

4、的坐标为，点在线段的垂直平分线上，且，求的值【例4】已知椭圆经过点，对称轴为坐标轴，焦点，在轴上，离心率．⑴求椭圆的方程；⑵求的角平分线所在直线的方程；⑶在椭圆上是否存在关于直线对称的相异两点？若存在．请找出；若不存在，说明理由．【例1】过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线交双曲线于、两点，求线段的中点到焦点的距离．【例2】已知双曲线的方程为，试问：是否存在被点平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，说明理由．【例3】已知：双曲线，过点能否作直线，使与已知双曲线交于点，且点是线段的中点，如

5、果存在，写出它的方程，如果不存在，说明理由．【例4】已知中心在原点的双曲线的一个焦点是，一条渐近线的方程是．⑴求双曲线的方程；⑵若以为斜率的直线与双曲线相交于两个不同的点，，线段的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的取值范围．【例5】已知斜率为1的直线与双曲线相交于、两点，且的中点为．⑴求的离心率；⑵设的右顶点为，右焦点为，，证明：过、、三点的圆与轴相切．【例6】已知点在抛物线上，的重心与此抛物线的焦点重合（如图）．⑴写出该抛物线的方程和焦点的坐标；⑵求线段中点的坐标；⑶求所在直线的方程．

6、【例1】如图，、为函数图象上两点，且轴，点是边的中点．⑴设点的横坐标为，的面积为，求关于的函数关系式；⑵求函数的最大值，并求出相应的点的坐标．【例2】若直线与抛物线交于、两点，且中点的横坐标为，求此直线方程．【例3】若曲线上总存在两个对称于直线的不同的点，求取值的范围．【例4】求常数的范围，使曲线的所有弦都不能被直线垂直平分．【例5】已知，动点到定点的距离比到定直线的距离小．⑴求动点的轨迹的方程；⑵设是轨迹上异于原点的两个不同点，，求面积的最小值；⑶在轨迹上是否存在两点关于直线对称？若存在，求出直线

7、的方程，若不存在，说明理由．【例6】已知抛物的焦点为，以为圆心，长为半径画圆，在轴上方交抛物线于、不同的两点，若为的中点．⑴求的取值范围；⑵求的值；⑶问是否存在这样的值，使、、成等差数列？【例1】已知曲线与直线交于两点和，且．记曲线在点和点之间那一段与线段所围成的平面区域（含边界）为．设点是上的任一点，且点与点和点均不重合．（1）若点是线段的中点，试求线段的中点的轨迹方程．（2）若曲线与有公共点，试求的最小值．