高中数学 4.1.1 导数与函数的单调性教案 北师大选修1-1

《高中数学 4.1.1 导数与函数的单调性教案 北师大选修1-1》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、4.1.1导数与函数的单调性教学过程：【引例】1、确定函数在哪个区间内是增函数？在哪个区间内是减函数？解：，在上是减函数，在上是增函数。问：1、为什么在上是减函数，在上是增函数？都是反映函数随自变量的变化情况。2、研究函数的单调区间你有哪些方法？（1）观察图象的变化趋势；（函数的图象必须能画出的）（2）利用函数单调性的定义。（复习一下函数单调性的定义）2、确定函数f(x)=2x3－6x2+7在哪个区间内是增函数？哪个区间内是减函数？（1）能画出函数的图象吗？那如何解决？试一试。提问一个学生：解决了吗？到哪一步解决不了？（产生认知冲突）（2）

2、（多媒体放映）【发现问题】定义是解决单调性最根本的工具，但有时很麻烦，甚至解决不了。尤其是在不知道函数的图象的时候，如函数f(x)=2x3－6x2+7，这就需要我们寻求一个新的方法来解决。（研究的必要性）事实上用定义研究函数的单调区间也不容易。【探究】我们知道函数的图象能直观的反映函数的变化情况，下面通过函数的图象规律来研究。问：如何入手？（图象）从函数f(x)=2x3－6x2+7的图象吗？1、研究二次函数的图象；（1）学生自己画图研究探索。（2）提问：以前我们是通过二次函数图象的哪些特征来研究它的单调性的？（3）（开口方向，对称轴）既然要

3、寻求一个新的办法，显然要换个角度分析。（4）提示：我们最近研究的哪个知识（通过图象的哪个量）能反映函数的变化规律？（5）学生继续探索，得出初步规律。几何画板演示，共同探究。得到这个二次函数图象的切线斜率的变化与单调性的关系。（学生总结）：①该函数在区间上单调递减，切线斜率小于0，即其导数为负；在区间上单调递增，切线斜率大于0，即其导数为正；注：切线斜率等于0，即其导数为0；如何理解？②就此函数而言这种规律是否一致？是否其它函数也有这样的规律呢？2、先看一次函数图象；3、再看两个我们熟悉的函数图象。（验证）（1）观察三次函数的图象；（几何画板

4、演示）（2）观察某个函数的图象。（几何画板演示）指出：我们发现函数的单调性与导数的符号有密切的关系。这节课我们就来学习如何用导数研究函数的单调性（幻灯放映课题）。【新课讲解】4、请同学们根据刚才观察的结果进行总结：导数与函数的单调性有什么关系？请一个学生回答。（幻灯放映）一般地，设函数在某个区间可导，则函数在该区间内如果在这个区间内，则为这个区间内的增函数；如果在这个区间内，则为这个区间内的减函数。若在某个区间内恒有，则为常函数。这个结论是我们通过观察图象得到的，只是一个猜想，正确吗？答案是肯定的。严格的证明需要用到中值定理，大学里才能学到

5、。这儿我们可以直接用这个结论。小结：数学中研究问题的常规思想方法是：从特殊到一般，从简单的复杂。结论应用：由以上结论知：函数的单调性与其倒数有关，因此我们可以用导数法去探讨函数的单调性。下面举例说明：【例题讲解】例1、求证：在上是增函数。由学生叙述过程老师板书：，，，即，函数在上是增函数。注：我们知道在R上是增函数，课后试一试，看如何用导数法证明。学生归纳步骤：1、求导；2、判断导数符号；3、下结论。例2、确定函数f(x)=2x3－6x2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.由学生叙述过程老师板书：解：f′(x)=(2x3－6x2+

6、7)′=6x2－12x,令6x2－12x＞0，解得x＞2或x＜0∴当x∈(－∞，0)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数;当x∈(2，+∞)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数.令6x2－12x＜0，解得0＜x＜2.∴当x∈(0，2)时，f′(x)＜0，f(x)是减函数.学生小结：用导数求函数单调区间的步骤：（1）确定函数f(x)的定义域；（2）求函数f(x)的导数f′(x).（3）令f′(x)＞0解不等式，得x的范围就是递增区间.令f′(x)＜0解不等式，得x的范围，就是递减区间【课堂练习】1．确定下列函数的单调区间(1)y=x3－9x2

7、+24x(2)y=3x－x3(1)解：y′=(x3－9x2+24x)′=3x2－18x+24=3(x－2)(x－4)令3(x－2)(x－4)＞0，解得x＞4或x＜2.∴y=x3－9x2+24x的单调增区间是(4，+∞)和(－∞，2)令3(x－2)(x－4)＜0，解得2＜x＜4.∴y=x3－9x2+24x的单调减区间是(2，4)(2)解：y′=(3x－x3)′=3－3x2=－3(x2－1)=－3(x+1)(x－1)令－3(x+1)(x－1)＞0，解得－1＜x＜1.∴y=3x－x3的单调增区间是(－1，1).令－3(x+1)(x－1)＜0，解得

8、x＞1或x＜－1.∴y=3x－x3的单调减区间是(－∞，－1)和(1，+∞)2、设是函数的导数,的图象如图所示,则的图象最有可能是()小结：重点是抓住导函数的图象与原函数的图象从