高中数学 2.3 1数学归纳法及其应用教案 新人教a版选修2-2

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1、数学归纳法及其应用考纲要求1了解数学归纳法的原理，并能用数学归纳法证明一些简单问题2掌握利用“观察→归纳→猜想→证明”探索问题的方法重点、难点归纳1归纳法由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法叫做归纳法2数学归纳法对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n=k(kÎN，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。这种证明方法就叫做数学归纳法。学法探秘数学归纳法是证明有关自然数n的命题的一种方法，应用非常广泛，它是一种完全归纳法。用数学

2、归纳法证明一个命题必须分为两个步骤：第一步验证n取第一个允许值n0时命题成立；第二步从n=k(k≥n0)时命题成立的假设出发，推证n=k+1时命题也成立。其中第一步是验证命题的起始正确性，是归纳的基础；第二步则是推证命题正确性的可传递性，是递推的依据。两个步骤各司其职，缺一不可。证明步骤与格式的完整与规范是数学归纳法的一个鲜明特征。需要注意的是：在第二步证明“当n=k+1时命题成立”的过程中，必须利用“归纳假设”，即必须用上“当n=k时命题成立”这一条件。因为“当n=k时命题成立”实为一个已知条件，而“当n=k+1时

3、命题成立”只是一个待证目标。“观察→归纳→猜想→证明”是一种十分重要的思维方法，运用这种思维方法既能发现结论，又能证明结论的正确性。这是分析问题和解决问题能力的一个重要内容，也是近几年高考的一个考查重点。典型例析例1用数学归纳法证明证明：1°当n=1时，左边=1-=，右边==，所以等式成立。2°假设当n=k时，等式成立，即。那么，当n=k+1时，这就是说，当n=k+1时等式也成立。综上所述，等式对任何自然数n都成立。说明：要证明的等式左边共2n项，而右边共n项。f(k)与f(k+1)相比较，左边增加两项，右边增加一项

4、，并且二者右边的首项也不一样，因此在证明中采取了将与合并的变形方式，这是在分析了f(k)与f(k+1)的差异和联系之后找到的方法。例2(2002年湖南数学联赛试题)已知a1=1，a2=3，an+2=(n+3)an+1-(n+2)an，若当m≥n时，am的值都能被9整除，求n的最小值。解：因为a1＝1，a2＝3，an＋2＝(n＋3)an＋1－(n＋2)an，所以a1＝1，a2＝3，a3＝9，a4＝33，a5＝153，a6＝873，…。因为a5与a6都能被9整除，所以由递推关系式an＋2＝(n＋3)an＋1－(n＋2)a

5、n可知a5后面的所有项都能被9整除。故n的最小值为5。另解：由an＋2＝(n＋3)an＋1－(n＋2)an可得an＋2－an＋1＝(n＋2)an＋1－(n＋2)an＝(n＋2)(an＋1－an)＝(n＋2)(n＋1)(an－an－1)＝…＝(n＋2)·(n＋1)·n·(n－1)·…·4·3·2·(a2－a1)＝(n＋2)!。所以an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＝1!＋2!＋3!＋…＋n!（n≥1）。由于a1＝1，a2＝3，a3＝9，a4＝33，a5＝153，并且n≥6

6、时n!能被9整除，所以n的最小值为5。例3求证：<2-(nÎN，且n≥2)证明：1°当n=2时，左边=1+=<==2-=右边，不等式成立。2°假设当n=k(kÎN，且k≥2)时不等式成立，即<2-。那么+<2-+。由于>0所以<故+<2-这就是说，当n=k+1时，不等式也是成立的。综上所述，不等式<2-(nÎN，且n≥2)成立。说明：求解本题的关键在于证明：<，方法有比较法和放缩法。例4平面内有n个圆，其中每两个圆都交于两点，且无三个圆交于一点。证明这n个圆把平面分成f(n)=n2-n+2个部分。证明：1°当n=1时

7、，平面内只有一个圆，这个圆将整个平面分成了内外两部分，即f(2)=2；而当n=1时，n2-n+2=12-1+2=2。这正好说明当n=1时，平面内合条件的n个圆将平面分成了f(n)=n2-n+2个部分。2°假设合条件的k个圆将平面分成f(k)=k2-k+2个部分，那么，当n=k+1时，平面内共有合条件的k+1个圆。原有的k个圆已经将平面分成了f(k)=k2-k+2个部分；而第k+1个圆与原有的k个圆交出2k个交点，这2k个交点将第k+1个圆分成2k段圆弧，其中的每一段圆弧必将它自身所在的区域一分为二，所以平面的区域数会

8、在f(k)=k2-k+2个部分的基础上增加2k。也就是说，合条件的k+1个圆分平面为f(k)+2k=k2-k+2+2k=k2+k+2个部分，而f(k+1)=(k+1)2-(k+1)+2=k2+k+2。这说明当n=k+1时命题仍然成立。综上所述，合条件的n个圆将平面分成f(n)=n2-n+2个部分。强化训练(略)创新园地1楼梯共n级，每步只能跨上