高中数学 2.1.1正弦定理（一）教案 北师大版必修5高二

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1、2.1.1正弦定理（一）知识梳理1、正弦定理形式一：(2R为外接圆的直径)形式二：；；；（角到边的转换）形式三：，，；（边到角的转换）形式四：；（求三角形的面积）2.解决以下两类问题：1）、已知两角和任一边，求其他两边和一角；（唯一解）2）、已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）。典例剖析题型一已知两角和任一边，求其它两边和一角例1在中，，，，求，．【解】因为，，所以．因为，所以，．因此，，的长分别为和．评析：已知三角形的任意两个角和一边，由三角形内角和定理，可以计算出三角形的另一角，并由正弦定理求出另两边．题型二已

2、知两边及其一边的对角，求其他的边和角例2：根据下列条件解三角形：（1）；（2）．【解】（1），∴，，∴，∴为锐角，∴，∴．（2），∴，∴，∴当∴当所以，．评析：已知三角形两边和其中一边的对角，解三角形。首先求出另一边的对角的正弦值，其次根据该正弦值求角时，需对角的情况加以讨论是否有解？如果有解，是一解，还是两解？备选题正弦定理的应用例3.在ABC中，,sinB=.（I）求sinA的值；(II)设AC=，求ABC的面积.解：（Ⅰ）由，且，∴，∴，ABC∴，又，∴（Ⅱ）如图，由正弦定理得∴，又∴点评：解三角形问题，还常常用到三角函数中的有关公式进行边角

3、互化。点击双基1．在△ABC中，若，则等于（）A．B．C．D．解：答案：C2．在△中，若，则等于（）A．B．C．D．解：或答案：D3．△ABC中，，A=，则边=（）A6B12C6或12D解：，sinB==B=当B=60时，C=180-A-B=90，c==12当B=120时，C=180-A-B=30，c=a=6答案：C4．在△ABC中，，则的最大值是_______________。解：答案：5．在△ABC中，若_________。解：答案：课外作业一、选择1．在△ABC中，，则等于（）A．B．C．D．解.答案：C2.在△ABC中，若，则等于（）A．B

4、．C．D．解:答案：D3.在△ABC中，sinA:sinB:sinC=3:2:4,则A、B、C大小关系是（）A.A

5、为若且，则（）A.2B．4＋C．4—D．解：由可知,,所以,由正弦定理得,故选A答案：A7.满足=4，A=，C=105的△ABC的边的值为（）ABCD解：A=，C=105，B=，由正弦定理得:b===2答案：A8.在中,,，则的外接圆半径为（　　　）（A）（B）3（C）（D）6解：的外接圆直径2R===6，R=3答案：B二、填空题9在△ABC中，b=4asinB,则A=解：b=4asinB,sinB=4sinAsinB,sinA=,在△ABC中,0

6、三角形。解：依题意，由正弦定理得：，a=b=c,即△ABC为等边三角形答案：等边11、在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为、b、c，若，则解：依题意，由正弦定理得：,即,∴答案：三、解答题12．在△ABC中，，∠B=，=1，求和∠A、∠C解：由正弦定理知：解得或1500，因为A+B+C=1800，所以C=1500不合题意，舍去。从而有A=900，。13.在中，角的对边分别为，。（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的面积.解：（Ⅰ）∵A、B、C为△ABC的内角，且，∴，∴.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，又∵，∴在△ABC中，由正弦定理，得∴.∴△ABC的面积.14.设△A

7、BC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，,，求B.解：由cos（AC）+cosB=及B=π（A+C）得cos（AC）cos（A+C）=，cosAcosC+sinAsinC（cosAcosCsinAsinC）=,sinAsinC=.又由=ac及正弦定理得故，或（舍去），于是B=或B=.又由知或所以B=。