高中数学 1.4.1《正弦函数、余弦函数的图象与性质》教学设计 新人教a版必修4

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1、1.4.1《正弦函数、余弦函数的图象与性质》教案【教学目标】1．用单位圆中的正弦线画出正弦函数的图象；2．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图；3．正弦函数图象与余弦函数图象的变换关系.【导入新课】复习引入：正弦线、余弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x，y)，过P作x轴的垂线，垂足为M，则有，．有向线段MP叫做角α的正弦线，有向线段OM叫做角α的余弦线．新授课阶段一、正余弦函数的图像的作法：1．正弦函数图象的几何作法采用弧度制，x，y均为实数，步骤如下：（1）在x轴上任取一点O1，以Ol为圆心作单位圆；（2）从这个圆与x轴交

2、点A起把圆分成12等份；（3）过圆上各点作x轴的垂线，可得对应于0、、、、的正弦线；（4）相应的再把x轴上从原点O开始，把这0～这段分成12等份；（5）把角的正弦线平移，使正弦线的起点与x轴上对应的点重合；（6）用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来.2、五点法作图描点法在要求不太高的情况下，可用五点法作出，的图象上有五点起决定作用，它们是（0，0），（），（，0），（），（），描出这五点后，其图象的形状基本上就确定了.因此，在精确度要求不太高时，我们常常先描出这五个点，然后用平滑的曲线将它们连接起来，就得到在相应区间内正弦函数的简图

3、，这种方法叫做五点法.注意：（1）描点法所取的各点的纵坐标都是查三角函数表得到的数值，不易描出对应点的精确位置，因此作出的图象不够精确.（2）几何法作图较为精确，但画图时较繁.（3）五点法是我们画三角函数图象的基本方法，要切实掌握好.（4）作图象时，函数自变量要用弧度制，这样自变量与函数值均为实数，因此在x轴、y轴上可以统一单位，作出的图象正规，便于应用.3．正弦曲线下面是正弦函数的图象的一部分：4．余弦曲线利用正弦曲线和诱导公式画出余弦曲线，例1作下列函数的简图：(1)y=sinx，x∈[0，2π]；　　　(2)y=cosx，x∈

4、[0，2π]；(3)y=1+sinx，x∈[0，2π]；(4)y=-cosx，x∈[0，2π].解：(1)列表x0sinx010-10(2)列表x0cosx10-101(3)列表x0sinx010-101+sinx12101(4)列表x0cosx10-101-cosx-1010-1二、正余弦函数的性质1．周期函数定义：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有：f(x+T)=f(x)那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.问题：（1）对于函数，有，能否说是它的周期？（2）正弦

5、函数，是不是周期函数，如果是，周期是多少？（，且）（3）若函数的周期为，则，也是的周期吗？为什么？（是，其原因为：）2．说明：1°周期函数xÎ定义域M，则必有x+TÎM,且若T>0则定义域无上界；T<0则定义域无下界；2°“每一个值”只要有一个反例，则f(x)就不为周期函数（如f(x0+t)¹f(x0)）3°T往往是多值的（如y=sinx2p,4p,…,-2p,-4p,…都是周期）周期T中最小的正数叫做f(x)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）y=sinx,y=cosx的最小正周期为2p（一般称为周期）从图象上可以看出，；，

6、的最小正周期为；判断：是不是所有的周期函数都有最小正周期？（没有最小正周期）3．例题讲解例2求下列三角函数的周期：①；②；（3），．解：（1）∵，∴自变量只要并且至少要增加到，函数，的值才能重复出现，所以，函数，的周期是．（2）∵，∴自变量只要并且至少要增加到，函数，的值才能重复出现，所以，函数，的周期是．（3）∵，∴自变量只要并且至少要增加到，函数，的值才能重复出现，所以，函数，的周期是．例3求下列三角函数的周期：1°y=sin(x+)；2°y=cos2x；3°y=3sin(+).解：1°令z=x+，而sin(2p+z)=sinz

7、，即：f(2p+z)=f(z).f[(x+2)p+]=f(x+)，∴周期T=2p.2°令z=2x，∴f(x)=cos2x=cosz=cos(z+2p)=cos(2x+2p)=cos[2(x+p)]，即：f(x+p)=f(x).∴T=p.3°令z=+，则：f(x)=3sinz=3sin(z+2p)=3sin(++2p)=3sin()=f(x+4p).∴T=4p.思考：从上例的解答过程中归纳一下这些函数的周期与解析式中的哪些量有关？说明：（1）一般结论：函数及函数，（其中为常数，且，）的周期；（2）若，如：①；②；③，．则这三个函数的周

8、期又是什么？一般结论：函数及函数，的周期思考：求下列函数的周期：1°y=sin(2x+)+2cos(3x-)，2°y=

9、sinx

10、.yxo1-1p2p3p-p解：1°y1=sin(2x+)最小正周期T1=py2=2cos(3x-)最小