高中数学 1.3.2 球的体积和表面积训练 北师大版必修2

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1、第十六课时§1.3.2球的体积和表面积一、教学目标1、知识与技能:⑴通过对球的体积和面积公式的推导,了解推导过程中所用的基本数学思想方法:“分割——求和——化为准确和”,有利于同学们进一步学习微积分和近代数学知识。⑵能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题。⑶培养学生的空间思维能力和空间想象能力。2、过程与方法:通过球的体积和面积公式的推导,从而得到一种推导球体积公式V=πR3和面积公式S=4πR2的方法,即“分割求近似值,再由近似和转化为球的体积和面积”的方法,体现了极限思想。3、情感与价值观:通过学习,使我们对球的体积和面积公式的推导方法有了一定的了解,提高了空间思维能

2、力和空间想象能力,增强了我们探索问题和解决问题的信心。二、教学重点、难点重点:引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。难点:推导体积和面积公式中空间想象能力的形成。三、学法和教法1、学法:学生通过阅读教材,发挥空间想象能力,了解并初步掌握“分割、求近似值、再由近似值的和转化为球的体积和面积”的解题方法和步骤。2、教法:探究讨论法四、教学过程(一)、创设情景1、教师提出问题:球既没有底面,也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形,那么怎样来求球的表面积与体积呢?引导学生进行思考。2、教师设疑:球的大小是与球的半径有关,如何用球半径来表示球的体积和面积?激发

3、学生推导球的体积和面积公式。(二)、探究新知1.球的体积:如果用一组等距离的平面去切割球,当距离很小之时得到很多“小圆片”,“小圆片”的体积的体积之和正好是球的体积,由于“小圆片”近似于圆柱形状,所以它的体积也近似于圆柱形状,所以它的体积有也近似于相应的圆柱和体积,因此求球的体积可以按“分割——求和——化为准确和”的方法来进行。步骤:第一步:分割如图:把半球的垂直于底面的半径OA作n等分,过这些等分点,用一组平行于底面的平面把半球切割成n个“小圆片”,“小圆片”厚度近似为,底面是“小圆片”的底面。如图:得第二步:求和第三步:化为准确的和当n→∞时,→0(同学们讨论得出)所以

4、得到定理:半径是R的球的体积练习:一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它的内径(钢的密度是7.9g/cm3)2.球的表面积:球的表面积是球的表面大小的度量,它也是球半径R的函数,由于球面是不可展的曲面,所以不能像推导圆柱、圆锥的表面积公式那样推导球的表面积公式,所以仍然用“分割、求近似和,再由近似和转化为准确和”方法推导。思考:推导过程是以什么量作为等量变换的?半径为R的球的表面积为S=4πR2练习:长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5,是它的八个顶点都在同一球面上,则这个球的表面积是。(答案50元)(三)、典例分析:课本P47例4和P29例5(四)、巩固深

5、化、反馈矫正1、正方形的内切球和外接球的体积的比为,表面积比为。(答案:; 3:1)2、在球心同侧有相距9cm的两个平行截面,它们的面积分别为49πcm2和400πcm2,求球的表面积。(答案:2500πcm2)分析:可画出球的轴截面,利用球的截面性质求球的半径(五)、课堂小结本节课主要学习了球的体积和球的表面积公式的推导,以及利用公式解决相关的球的问题,了解了推导中的“分割、求近似和,再由近似和转化为准确和”的解题方法。(六)、作业P30练习1、3,B(1)五、教后反思:

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