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1、递推数列全接触在近几年的高考题中，递推数列的身影经常出现，如：在国内外的竞赛考试中，还经常做为“压阵”题。如由于递推数列的情况繁多，同一类型，稍微改变其中的数据，或把数字改变为含n的代数式，方法就大为不同，因此学生学习起来感到千头万序，不知从何下手。下面，我们就把递推数列的各种类型给同学们做个总结。一、递推数列的定义数列的若干连续项之间的关系，叫递推关系，由递推关系和初始条件确定的数列叫递推数列（或称递归数列），表达递推关系的式子叫递推式。递推式中，由两个连续项的关系an=f(an-1)(n=2,3,4…)及一个初始项a1，所
2、确定的数列，叫一阶递推数列；由三个连续项的关系，an=f(an-1,an-2)（n=2,3,4,…），及两个初始项a1，a2所确定的数列，叫二阶递推数列。如an=an-1+an-2(n≥2)…，高中阶段最多涉及二阶递推数列。若按递推式中各项所含数列连续项的次数n为线性的和非线性的递推数列，若递推方程中，各an都是一次的，叫线性递推数列，如an=3an-1+2an-2(n≥3)，否则就是非线性的，如an2=3an-1+an-2等。二、递推数列的几种形式1、常系数一阶线性递推数列……an+1=pan+q(p，q为常数)当p=1时{
3、an}为等差数列当q=0时{an}为等比数列求通项的方法：1）换元法：令an=bn+k或待定系数法即原式可化为bn+α=β(bn-1+α)，整理后与原式比较系数，然后求k或α+β2）作差法3）迭代归纳法例1、设a1=1，an+1=2an+1(n≥1)，求数列{an}的通项。解法1、令an=bn+k∴an+1=bn+1+k∴bn+1+k=2bn+2k+1得bn+1-2bn=k+1令k+1=0，得k=-1∴an=bn-1，bn=an+1∴{bn}为一首项为a1+1=26，公比为2的等比数列。bn=2·2n-1=2n∴an=2n-1
4、；或原式可化为an+α=β(bn-1+α)得an+1=βan+αβ-α∴β=2,αβ-α=1,得α=1∴an+1+1=2(an+1)知{an+1}为一首项为2，公比为2的等比数列。得an=2n-1解法2：上式可通过观察得an+1=2an+1两边各加1，得an+1+1=2(an+1)，以下解法同解法1说明：这种方法对简单的可行，复杂的无法看出。解法3：an+2=2an+1+1①an+1=2an+1 ②①-②得an+2-an+1=2(an+1-an)令bn+1=an+2-an+1，则bn=an+1-an，知bn+1=2bn，以下解
5、法同解法12、非常系数一阶递推数列an+1=f(n)an+g(n)其中f(n)、g(n)为关于n的函数1）当f(n)=1时，得an+1=an+g(n)，可用迭加法；2）当g(n)=0时，得=f(n)，可用迭加法。例2：已知a1=1an+1=an+(n+1)(n∈N*)，求an解：an=an-1+n(n≥2)an-1=an-2+n-1……a2=a1+2各式相加得an=a1+2+…+n=(n≥2)，当n=1时，an=1=a1成立∴an=例3、已知a1=1,an+1=3nan，n∈N*,求an解知（n≥2）6…各式相乘得∴an=当n
6、=1时，有an=30=1=a1成立。∴an=3)当f(n)为非1的常数时，采用下面的方式例4、设{an}中，a1=1an+1=3an+2n,求an解:n≥2时，在an=3an-1+2中左右各除以3n，得令bn=则有bn+1=∴bn=bn-1+，可用迭加法，求解得an=4）当f(n)不是常数时，采用下面的方式例5、已知数列{an}中，a1=3且nan+1=(n+2)an+n(n≥1),求an解：由an+1=得an=an-2=，两边同乘以得an-2=，两边同乘以得…a2=,两边同乘以得到下式=,各式相加得6an==下面用归纳法计算
7、bnbn=1+当n=2时，b2=1=当n=3时，b3=1+当n=3时，b4=1+当n=5时，b5=1+…用数列归纳法可证得：bn=∴an=3、二阶常系数齐次线性递推数列：an+2=pan+1+qan，其中p、q为常数其解法如下：例6、an+1+2an+3an-1=0且a1=1,a2=5,求an(n≥2)解：令an+1+2an+3an-1=0化为an+1+αan=β(an+αan-1)整理得：an+1=(β-α)an+αβan-1得β-α=-2αβ=-3解得当α=3，β=1有an+1+3an=an+3an-1(n≥2)∴{an+
8、1+3an}为一首项为8的常数列，∴an+1+3an=8转化为第1类型，得an=2-(-3)n-1当α=-1，β=-3时情况类似。上例中可以只取一种，结果一样。6当然，并不是所有的递推数列都可以求出通项的。下面给出几种能够求出通项的类型。4、二阶非齐次线性递推数列例7、已知数
