高三数学第一轮复习单元讲座 第17讲 算法案例教案 新人教版

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1、普通高中课程标准实验教科书—数学[人教版]高三新数学第一轮复习教案(讲座17)—算法案例一.课标要求:通过阅读中国古代数学中的算法案例,体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。二.命题走向算法是高中数学新课程中的新增内容,本讲的重点是几种重要的算法案例思想,复习时重算法的思想轻算法和程序的构造。预测2007年高考队本讲的考察是:以选择题或填空题的形式出现,分值在5分左右,考察的热点是算法实例和传统数学知识的结合题目。三.要点精讲1.求最大公约数(1)短除法求两个正整数的最大公约数的步骤:先用两个数公有的质因数连续去除,一直除到所得的商是两个互质数为止,然

2、后把所有的除数连乘起来。(2)穷举法(也叫枚举法)穷举法求两个正整数的最大公约数的解题步骤:从两个数中较小数开始由大到小列举,直到找到公约数立即中断列举,得到的公约数便是最大公约数。(3)辗转相除法辗转相除法求两个数的最大公约数,其算法可以描述如下:①输入两个正整数m和n;②求余数r:计算m除以n,将所得余数存放到变量r中;③更新被除数和余数:m=n,n=r;④判断余数r是否为0。若余数为0,则输出结果;否则转向第②步继续循环执行。如此循环,直到得到结果为止。(4)更相减损术我国早期也有解决求最大公约数问题的算法,就是更相减损术。在《九章算术》中记载了

3、更相减损术求最大公约数的步骤:可半者半之,不可半者,副置分母•子之数,以少减多,更相减损,求其等也,以等数约之。步骤:Ⅰ.任意给出两个正数;判断它们是否都是偶数。若是,用2约简;若不是,执行第二步。Ⅱ.以较大的数减去较小的数,接着把较小的数与所得的差比较,并以大数减小数。继续这操作,直到所得的数相等为止,则这个数(等数)就是所求的最大公约数。2.秦九韶算法秦九韶算法的一般规则:秦九韶算法适用一般的多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0的求值问题。用秦九韶算法求一般多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0当x

4、=x0时的函数值,可把n次多项式的求值问题转化成求n个一次多项式的值的问题,即求v0=anv1=anx+an-1v2=v1x+an-2v3=v2x+an-3……..vn=vn-1x+a0观察秦九韶算法的数学模型,计算vk时要用到vk-1的值,若令v0=an。我们可以得到下面的递推公式:v0=anvk=vk-1+an-k(k=1,2,…n)这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤,可以用循环结构来实现。3.排序排序的算法很多,课本主要介绍里两种排序方法:直接插入排序和冒泡排序(1)直接插入排序在日常生活中,经常碰到这样一类排序问题:把新的数据插入到已经排好顺

5、序的数据列中。例如:一组从小到大排好顺序的数据列{1,3,5,7,9,11,13},通常称之为有序列,我们用序号1,2,3,……表示数据的位置,欲把一个新的数据8插入到上述序列中。完成这个工作要考虑两个问题:(1)确定数据“8”在原有序列中应该占有的位置序号。数据“8”所处的位置应满足小于或等于原有序列右边所有的数据,大于其左边位置上所有的数据。(2)将这个位置空出来,将数据“8”插进去。对于一列无序的数据列,例如:{49,38,65,97,76,13,27,49},如何使用这种方法进行排序呢?基本思想很简单,即反复使用上述方法排序,由序列的长度不断增

6、加,一直到完成整个无序列就有序了。首先,{49}是有序列,我们将38插入到有序列{49}中,得到两个数据的有序列:{38,49},然后,将第三个数据65插入到上述序列中,得到有序列:{38,49,65}…………按照这种方法,直到将最后一个数据65插入到上述有序列中,得到{13,27,38,49,49,65,76,97}这样,就完成了整个数据列的排序工作。注意到无序列“插入排序算法”成为了解决这类问题的平台。(2)冒泡法排序所谓冒泡法排序,形象地说,就是将一组数据按照从小到大的顺序排列时,小的数据视为质量轻的,大的数据视为质量沉的。一个小的数据就好比水中

7、的气泡,往上移动,一个较大的数据就好比石头,往下移动。显然最终会沉到水底,最轻的会浮到顶,反复进行,直到数据列排成为有序列。以上过程反映了这种排序方法的基本思路。我们先对一组数据进行分析。设待排序的数据为:{49,38,65,97,76,13,27,49}排序的具体操作步骤如下:1.将第1个数与右边相邻的数38进行比较,因为38<49,49应下沉,即向右移动,所以交换他们的位置,得到新的数据列:{38,49,65,97,76,13,27,49}2.将新数据列中的第2个数49与右边相邻的数65进行比较,因为65>49,所以顺序不变,得到新的数据列:{38

8、,49,65,97,76,13,27,49}3.将新数据列中的第3个数65与右边相邻的数97进

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