高三数学第一轮复习单元讲座 第17讲 算法案例教案 新人教版

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1、普通高中课程标准实验教科书—数学[人教版]高三新数学第一轮复习教案（讲座17）—算法案例一．课标要求：通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。二．命题走向算法是高中数学新课程中的新增内容，本讲的重点是几种重要的算法案例思想，复习时重算法的思想轻算法和程序的构造。预测2007年高考队本讲的考察是：以选择题或填空题的形式出现，分值在5分左右，考察的热点是算法实例和传统数学知识的结合题目。三．要点精讲1．求最大公约数（1）短除法求两个正整数的最大公约数的步骤：先用两个数公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是两个互质数为止，然

2、后把所有的除数连乘起来。（2）穷举法（也叫枚举法）穷举法求两个正整数的最大公约数的解题步骤：从两个数中较小数开始由大到小列举，直到找到公约数立即中断列举，得到的公约数便是最大公约数。（3）辗转相除法辗转相除法求两个数的最大公约数，其算法可以描述如下：①输入两个正整数m和n；②求余数r：计算m除以n，将所得余数存放到变量r中；③更新被除数和余数：m=n，n=r；④判断余数r是否为0。若余数为0，则输出结果；否则转向第②步继续循环执行。如此循环，直到得到结果为止。（4）更相减损术我国早期也有解决求最大公约数问题的算法，就是更相减损术。在《九章算术》中记载了

3、更相减损术求最大公约数的步骤：可半者半之，不可半者，副置分母•子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。步骤：Ⅰ．任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，用2约简；若不是，执行第二步。Ⅱ．以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。2．秦九韶算法秦九韶算法的一般规则：秦九韶算法适用一般的多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0的求值问题。用秦九韶算法求一般多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0当x

4、=x0时的函数值，可把n次多项式的求值问题转化成求n个一次多项式的值的问题，即求v0=anv1=anx+an－1v2=v1x+an－2v3=v2x+an－3……..vn=vn－1x+a0观察秦九韶算法的数学模型，计算vk时要用到vk－1的值，若令v0=an。我们可以得到下面的递推公式：v0=anvk=vk－1+an－k(k=1,2,…n)这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤，可以用循环结构来实现。3.排序排序的算法很多，课本主要介绍里两种排序方法：直接插入排序和冒泡排序（1）直接插入排序在日常生活中，经常碰到这样一类排序问题：把新的数据插入到已经排好顺

5、序的数据列中。例如：一组从小到大排好顺序的数据列{1，3，5，7，9，11，13}，通常称之为有序列，我们用序号1，2，3，……表示数据的位置，欲把一个新的数据8插入到上述序列中。完成这个工作要考虑两个问题：（1）确定数据“8”在原有序列中应该占有的位置序号。数据“8”所处的位置应满足小于或等于原有序列右边所有的数据，大于其左边位置上所有的数据。（2）将这个位置空出来，将数据“8”插进去。对于一列无序的数据列，例如：{49，38，65，97，76，13，27，49}，如何使用这种方法进行排序呢？基本思想很简单，即反复使用上述方法排序，由序列的长度不断增

6、加，一直到完成整个无序列就有序了。首先，{49}是有序列，我们将38插入到有序列{49}中，得到两个数据的有序列：{38，49}，然后，将第三个数据65插入到上述序列中，得到有序列：{38，49，65}…………按照这种方法，直到将最后一个数据65插入到上述有序列中，得到{13，27，38，49，49，65，76，97}这样，就完成了整个数据列的排序工作。注意到无序列“插入排序算法”成为了解决这类问题的平台。（2）冒泡法排序所谓冒泡法排序，形象地说，就是将一组数据按照从小到大的顺序排列时，小的数据视为质量轻的，大的数据视为质量沉的。一个小的数据就好比水中

7、的气泡，往上移动，一个较大的数据就好比石头，往下移动。显然最终会沉到水底，最轻的会浮到顶，反复进行，直到数据列排成为有序列。以上过程反映了这种排序方法的基本思路。我们先对一组数据进行分析。设待排序的数据为：{49，38，65，97，76，13，27，49}排序的具体操作步骤如下：1．将第1个数与右边相邻的数38进行比较，因为38<49，49应下沉，即向右移动，所以交换他们的位置，得到新的数据列：{38，49，65，97，76，13，27，49}2．将新数据列中的第2个数49与右边相邻的数65进行比较，因为65>49，所以顺序不变，得到新的数据列：{38

8、，49，65，97，76，13，27，49}3．将新数据列中的第3个数65与右边相邻的数97进